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一、选择题
1．如图为几何体的三视图，依据三视图可以推断这个几何体为 ( )．
A．圆锥
B．三棱锥
C．三棱柱
D．三棱台
解析 依据俯视图与侧视图，可得几何体为三棱柱．
答案 C
2．关于直线a，b，l及平面α，β，下列命题中正确的是 ( )．
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a∥α，b⊥a，则b⊥α
C．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥α
D．若a⊥α，a∥β，则α⊥β
解析 在选项A中，a，b有可能不平行；在选项B中，b可能在平面α内；在选项C中，缺少a与b相交的条件，故不正确．由此可知选D.
答案 D
3．已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是 ( )．
①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
解析 过直线a作平面γ使α∩γ＝c，则a∥c，再依据b⊥α可得b⊥c，从而b⊥a，命题①是真命题；下面考虑命题③，由b⊥α，b⊥β，可得α∥β，命题③为真命题．故正确选项为A.
答案 A
4．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则 ( )．
A．若m⊥n，α⊥β B．若α⊥β，则m⊥n
C．若m∥n，则α∥β D．若α∥β，则m∥n
解析 对于D，两个平面平行的性质定理，即两个平面平行，第三个平面与这两个平面相交，则它们的交线平行，因此D是正确的，而A，B，C均可以举出反例说明不成立．
答案 D
5．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则 ( )．
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a∥α，a∥β，则α∥β
C．若a∥b，a⊥α，则b⊥α
D．若a∥α，α⊥β，则a⊥β
解析 对于A选项，两直线有可能异面或相交；对于B选项，两平面有可能相交；对于D选项，直线a有可能在平面β内，故选C.
答案 C
6.如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为 ( )．
A．15＋3
B．9
C．30＋6
D．18
解析 图中所示的三视图对应的直观图是一个侧放的四棱柱，该四棱柱四个侧面都是矩形，上、下两个底面是平行四边形，其表面积为2×3×3＋2×3×2＋2×3×＝30＋6.
答案 C
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( )．
A．1 440 B．1 200
C．960 D．720
解析 由三视图可知，该几何体是由长方体削掉一个三棱锥得到的，所以其体积为8×9×20－××8×9×20＝1 200.
答案 B
8．如图所示是一个几何体的三视图，其侧视图是一个边长为a的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为 ( )．
A．a3 B．
C. D．
解析 依据三视图还原出原几何体，易知该几何体的体积V＝2××a2×a＝.
答案 D
9．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是 ( )．
A．l⊂α，m⊂β，且l⊥m
B．l⊂α，m⊂β，n⊂β且l⊥m，l⊥n
C．m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥m
D．l⊂α，l∥m，且m⊥β
解析 依题意，A，B，C均不能得出α⊥β.对于D，由l∥m，m⊥β，得l⊥β，又l⊂α，因此有α⊥β.综上所述，选D.
答案 D
10．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为 ( )．
A．8＋
B．8＋
C．8＋
D．8＋
解析 依题意得，该机器零件的外形是在一个正方体的上表面放置了一个的球体，其中正方体的棱长为2，相应的球半径是1，因此其体积等于23＋×π×13＝8＋.
答案 A
11．已知四周体P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，PB＝AB＝2，则球O的表面积为 ( )．
A．7π B．8π
C．9π D．10π
解析 依题意，记题中的球的半径是R，可将题中的四周体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2,1,2，于是有(2R)2＝12＋22＋22＝9,4πR2＝9π，所以球O的表面积为9π.
答案 C
12.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，BD∩AC＝O，M是线段D1O上的动点，过点M作平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为 ( )．
A. B．
C. D．1
解析 连接B1D1，AN，则N在B1D1上．设MN＝x，在正方体ABCD－A1B1C1D1中可求得sin ∠B1D1O＝，则在Rt△D1MN中，D1N＝＝x.又由正方体的性质知∠AD1N＝，于是在△AD1N中，由余弦定理，
得|AN|＝
＝＝，所以当x＝时，|AN|取得最小值.
答案 B
二、填空题
13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：
①直线AM与直线C1C相交；
②直线AM与直线BN平行；
③直线AM与直线DD1异面；
④直线BN与直线MB1异面．
其中正确结论的序号为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)
解析 AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错；③，④正确．
答案 ③④
14.某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．
解析 依题意，题中的几何体是从一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，其中该圆锥的底面半径是1，高是2，因此题中的几何体的体积等于23－π×12×2＝8－.
答案 8－
15．已知一个空间几何体的三视图如图所示，依据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为________．
解析 由三视图知几何体为组合体，上面为三棱锥，下面为直三棱柱，公用底面为等腰直角三角形且腰长为2，三棱锥和三棱柱的高都为2，则体积V＝2××2×2＋×2××2×2＝.
答案
16．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则四周体PBCE的体积为_____．
解析 S菱形ABCD＝4sin 60°＝2，S△EBC＝，VP－EBC＝×2×＝.
答案
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