1、开卷速查(三十六)基本不等式A级基础巩固练1下列命题正确的是()A若xk，kZ，则sin2x4B若a0，则a4C若a0，b0，则lgalgb2D若a0，b0，则2解析：当sin2x1时，1124，所以A错；若a0，则a4，B错；由于lga，lgb可以小于零，C错；由a0，b0，所以，都大于零，D正确答案：D2若正实数x，y满足xy5，则xy的最大值是()A2B3C4D.5解析：xy，x0，y0，.xy5.设xyt，即t5，得到t25t40，解得1t4，xy的最大值是4.答案：C3已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是()Aab2 B.2C.2D.a2b22ab解析：当a，b都是负数时，A
2、不成立，当a，b一正一负时，B不成立，当ab时，D不成立，因此只有C是正确的答案：C4若正数a，b满足1，则的最小值为()A1B.6C9D.16解析：方法一：由于1，所以abab(a1)(b1)1，所以2236.方法二：由于1，所以abab，b9a10(b9a)1016106.方法三：由于1，所以a1，所以(b1)2236.答案：B5设a0，b0.若是3a与32b的等比中项，则的最小值为()A8B.4C1 D.解析：由题意可知33a32b3a2b，即a2b1.由于a0，b0，所以(a2b)4248，当且仅当，即a2b时取“”答案：A6若x，y(0,2且xy2，使不等式a(2xy)(2x)(4y
3、)恒成立，则实数a的取值范围为()AaB.a2Ca2D.a解析：由x，y(0,2，xy2，得a2.又由2xy24，a.答案：D7已知正数x，y满足x2y2，则的最小值为_解析：由已知得1，则(102)9，当且仅当x，y时取等号答案：98已知集合Ax|x22x30，Bx|ax2bxc0，若ABx|3x4，ABR，则的最小值为_解析：x22x30，x1或x3.ABx|3x4，ABR，Bx|1x41和4是ax2bxc0的根14，(1)4.b3a，c4a，且a0.2，当且仅当取等号答案：9若实数a，b，c满足2a2b2ab,2a2b2c2abc，则c的最大值是_解析：由基本不等式得2a2b222，即2
4、ab22，所以2ab4.令t2ab，由2a2b2c2abc可得2ab2c2ab2c，所以2c1，由t4，得1，即12c，所以0clog22log23，故答案为2log23.答案：2log2310设关于x的不等式|x2|a(aR)的解集为A，且A，A.(1)xR，|x1|x3|a2a恒成立，且aN，求a的值；(2)若ab1，求的最小值，并指出取得最小值时a的值解析：(1)A，A，a，a，即a.|x1|x3|(x1)(x3)|2，a2a20，2a1，a1.又aN，a1.(2)a，2.当且仅当即时上式取等号又，的最小值是，取最小值时a.B级力气提升练11已知正实数a，b满足a2b1，则a24b2的最
5、小值为()A.B.4C. D.解析：由于1a2b2，所以ab，当且仅当a2b时取等号又由于a24b224ab.令tab，所以f(t)4t在单调递减，所以f(t)minf.此时a2b.答案：D12已知函数yx4(x1)，当xa时，y取得最小值b，则ab()A3B.2C3D.8解析：yx4x15，由x1，得x10，0，所以由基本不等式得yx15251，当且仅当x1，即(x1)29，所以x13，即x2时取等号，所以a2，b1，ab3.答案：C132021武汉模拟经观测，某大路段在某时段内的车流量y(万辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y(v0)(1)在该时段内，当汽车的平均速度
6、v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(2)为保证在该时段内车流量至少为1万辆/小时，则汽车的平均速度应把握在什么范围内？解析：(1)y1.108.当v，即v40千米/小时，车流量最大，最大值约为1.108万辆/小时(2)据题意有1，化简得v289v1 6000，即(v25)(v64)0，所以25v64.所以汽车的平均速度应把握在25,64(千米/小时)这个范围内14为了净化空气，某科研单位依据试验得出，在确定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应
7、时刻所释放的浓度之和由试验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1a4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)解析：(1)由于一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)4y则当0x4时，由44，解得0x8，所以此时0x4.当4x10时，由202x4，解得x8，所以此时4x8.综合得0x8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天(2)设从第一次喷洒起，经x(6x10)天，浓度g(x)2a10xa(14x)a42a48a4.由于14x4,8，而1a4，所以44,8，故当且仅当14x4时，y有最小值为8a4.令8a44，解得2416a4，所以a的最小值为24161.6.
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