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开卷速查(三十六) 基本不等式
A级 基础巩固练
1．下列命题正确的是( )
A．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x＋≥4
B．若a＜0，则a＋≥－4
C．若a＞0，b＞0，则lga＋lgb≥2
D．若a＜0，b＜0，则＋≥2
解析：当sin2x＝1时，1＋1＝2＜4，所以A错；
若a＜0，则a＋≤－4，B错；
由于lga，lgb可以小于零，C错；
由a＜0，b＜0，所以，都大于零，D正确．
答案：D
2．若正实数x，y满足x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是( )
A．2 B．3
C．4 D.5
解析：∵xy≤，x＞0，y＞0，
∴≥，≥.
∴x＋y＋≤5.设x＋y＝t，即t＋≤5，得到t2－5t＋4≤0，解得1≤t≤4，∴x＋y的最大值是4.
答案：C
3．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是( )
A．a＋b≥2 B.＋≥2
C.≥2 D.a2＋b2＞2ab
解析：当a，b都是负数时，A不成立，当a，b一正一负时，B不成立，当a＝b时，D不成立，因此只有C是正确的．
答案：C
4．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为( )
A．1 B.6
C．9 D.16
解析：方法一：由于＋＝1，所以a＋b＝ab⇒(a－1)(b－1)＝1，所以＋≥2＝2×3＝6.
方法二：由于＋＝1，所以a＋b＝ab，＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)－10≥16－10＝6.
方法三：由于＋＝1，所以a－1＝，
所以＋＝(b－1)＋≥2＝2×3＝6.
答案：B
5．设a＞0，b＞0.若是3a与32b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B.4
C．1 D.
解析：由题意可知3＝3a32b＝3a＋2b，即a＋2b＝1.
由于a＞0，b＞0，所以＋＝(a＋2b)＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当＝，即a＝2b＝时取“＝”．
答案：A
6．若x，y∈(0,2]且xy＝2，使不等式a(2x＋y)≥(2－x)(4－y)恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．a≤ B.a≤2
C．a≥2 D.a≥
解析：由x，y∈(0,2]，xy＝2，
得a≥＝＝－2.
又由2x＋y≥2＝4，∴a≥.
答案：D
7．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为__________．
解析：由已知得＝1，
则＝＋＝＝≥(10＋2)＝9，当且仅当x＝，y＝时取等号．
答案：9
8．已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0}，B＝{x|ax2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝{x|3＜x≤4}，A∪B＝R，则＋的最小值为__________．
解析：∵x2－2x－3＞0，∴x＜－1或x＞3.
∵A∩B＝{x|3＜x≤4}，A∪B＝R，
∴B＝{x|－1≤x≤4}．
∴－1和4是ax2＋bx＋c＝0的根．
∴－1＋4＝－，(－1)×4＝.
∴b＝－3a，c＝－4a，且a＞0.
∴＋≥2＝＝＝，
当且仅当＝取等号．
答案：
9．若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，则c的最大值是__________．
解析：由基本不等式得2a＋2b≥2＝2×2，即2a＋b≥2×2，所以2a＋b≥4.令t＝2a＋b，由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c可得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，
所以2c＝＝1＋，由t≥4，得1＜≤，即1＜2c≤，所以0＜c≤log2＝2－log23，故答案为2－log23.
答案：2－log23
10．设关于x的不等式|x－2|＜a(a∈R)的解集为A，且∈A，－∉A.
(1)∀x∈R，|x－1|＋|x－3|≥a2＋a恒成立，且a∈N，求a的值；
(2)若a＋b＝1，求＋的最小值，并指出取得最小值时a的值．
解析：(1)∵∈A，－∉A，∴＜a，≥a，即＜a≤.
∵|x－1|＋|x－3|≥|(x－1)－(x－3)|＝2，
∴a2＋a－2≤0，∴－2≤a≤1，∴＜a≤1.
又a∈N，∴a＝1.
(2)∵＜a≤，∴＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝.当且仅当即时上式取等号．又∵＜＝≤，∴＋的最小值是，取最小值时a＝.
B级 力气提升练
11．已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则a2＋4b2＋的最小值为( )
A. B.4
C. D.
解析：由于1＝a＋2b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝时取等号．又由于a2＋4b2＋≥2＋＝4ab＋.令t＝ab，所以f(t)＝4t＋在单调递减，所以f(t)min＝f＝.此时a＝2b＝.
答案：D
12．已知函数y＝x－4＋(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( )
A．－3 B.2
C．3 D.8
解析：y＝x－4＋＝x＋1＋－5，由x＞－1，得x＋1＞0，＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
答案：C
13．[2021·武汉模拟]经观测，某大路段在某时段内的车流量y(万辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y＝(v＞0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？
(2)为保证在该时段内车流量至少为1万辆/小时，则汽车的平均速度应把握在什么范围内？
解析：(1)y＝＝≤＝≈1.108.
当v＝，即v＝40千米/小时，车流量最大，最大值约为1.108万辆/小时．
(2)据题意有≥1，
化简得v2－89v＋1 600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应把握在[25,64](千米/小时)这个范围内．
14．为了净化空气，某科研单位依据试验得出，在确定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由试验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)．
解析：(1)由于一次喷洒4个单位的净化剂，
所以浓度f(x)＝4y＝
则当0≤x≤4时，由－4≥4，解得0≤x≤8，
所以此时0≤x≤4.
当4＜x≤10时，由20－2x≥4，解得x≤8，
所以此时4＜x≤8.
综合得0≤x≤8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天．
(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，
浓度g(x)＝2＋a＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4≥2－a－4＝8－a－4.由于14－x∈[4,8]，而1≤a≤4，所以4∈[4,8]，故当且仅当14－x＝4时，y有最小值为8－a－4.令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，
所以a的最小值为24－16≈1.6.
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