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补偿练7 数 列
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一、选择题
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S7=35,则a4等于( ).
A.8 B.7
C.6 D.5
解析 由题意,==35,所以a4=5.
答案 D
2.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=( ).
A.4·n B.4·n-1
C.4·n D.4·n-1
解析 由题意得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,故a1=4,a2=6,所以an=4·n-1=4·n-1.
答案 B
3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式为( ).
A.an=2n-3
B.an=2n+3
C.an=
D.an=
解析 当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3.由于当n=1时,a1的值不适合n≥2的解析式,故选C.
答案 C
4.等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a8=13,S7=35,则a8=( ).
A.8 B.9
C.10 D.11
解析 设an=a1+(n-1)d,依题意
解得所以a8=9.
答案 B
5.在等比数列{an}中,若a4,a8是方程x2-3x+2=0的两根,则a6的值是( ).
A.± B.-
C. D.±2
解析 依题意得因此a4>0,a8>0,a6==.
答案 C
6.已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2a,a2=2,则a1=( ).
A. B.
C. D.2
解析 由于等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2a,a2=2,所以由等比数列的性质得a=2a,∴a6=a5,公比q==,a1==.
答案 C
7.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,若a1=2a8-3a4,则=( ).
A. B.
C. D.
解析 由已知得a1=2a1+14d-3a1-9d,∴a1=d,又=,将a1=d代入化简得=.
答案 A
8.设数列{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a4=1,S3=7,则S5=( ).
A. B.
C. D.
解析 设此数列的公比为q(q>0),由已知a2a4=1,得a=1,所以a3=1.由S3=7,知a3++=7,即6q2-q-1=0,解得q=,进而a1=4,所以S5==.
答案 B
9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足Sn>0的最大自然数n的值为( ).
A.6 B.7
C.12 D.13
解析 ∵a1>0,a6a7<0,∴a6>0,a7<0,等差数列的公差小于零,又a3+a10=a1+a12>0,a1+a13=2a7<0,∴S12>0,S13<0,∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
答案 C
10.已知各项不为0的等差数列{an}满足a4-2a+3a8=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11等于( ).
A.1 B.2
C.4 D.8
解析 设等差数列的公差为d,由a4-2a+3a8=0,得a7-3d-2a+3(a7+d)=0,从而有a7=2或a7=0(a7=b7,而{bn}是等比数列,故舍去),设{bn}的公比为q,则b7=a7=2,∴b2b8b11=·b7q·b7q4=(b7)3=23=8.
答案 D
11.已知正数a,b的等比中项是2,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是( ).
A.3 B.4
C.5 D.6
解析 由已知正数a,b的等比中项是2,可得ab=4,又m=b+,n=a+,∴m+n=(a+b)+(+)≥2+=5,当且仅当a=b=2时取“=”,故m+n的最小值为5.
答案 C
12.已知函数f(x)=(1-3m)x+10(m为常数),若数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且a1=2,则数列{an}前100项的和为( ).
A.39 400 B.-39 400
C.78 800 D.-78 800
解析 ∵a1=f(1)=(1-3m)+10=2,∴m=3,∴an=f(n)=-8n+10,∴S100=-8(1+2…+100)+10×100=-8×+10×100=-39 400.
答案 B
二、填空题
13.等差数列{an}中,若a1+a2=2,a5+a6=4,则a9+a10=__________.
解析 依据等差数列的性质,a5-a1=a9-a5=4d,a6-a2=a10-a6=4d,∴(a5+a6)-(a1+a2)=8d,而a1+a2=2,a5+a6=4,∴8d=2,a9+a10=a5+a6+8d=4+2=6.
答案 6
14.设等比数列{an}的公比q=2,前n项的和为Sn,则的值为________.
解析 ∵S4=,a3=a1q2,∴=.
答案
15.已知数列{an}满足an=,则数列{}的前n项和为__________.
解析 an==,==4,所求的前n项和为4=4=.
答案
16.整数数列{an}满足an+2=an+1-an(n∈N*),若此数列的前800项的和是2 013,前813项的和是2 000,则其前2 014项的和为________.
解析 a3=a2-a1,a4=a3-a2,a5=a4-a3,a6=a5-a4,a7=a6-a5,…,∴a1=a7,a2=a8,a3=a9,a4=a10,a5=a11,…,{an}是以6为周期的数列,且有a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,S800=a1+a2=2 013,S813=a1+a2+a3=2 000,a3=-13,∴∴a2=1 000,S2 014=a1+a2+a3+a4=a2+a3=1 000+(-13)=987.
答案 987
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