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课时作业48 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．(2022·福建)直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( )
A．2 B．2
C. D．1
解析：如图可知
d＝＝1，
∴|AB|＝2|BC|＝2＝2.
答案：B
2．(2022·安徽)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：圆的圆心为(a,0)，半径为，所以≤，即|a＋1|≤2，
∴－2≤a＋1≤2，∴－3≤a≤1.
答案：C
3．(2022·潍坊模拟)若圆x2＋y2＝r2(r>0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
解析：计算得圆心到直线l的距离为＝>1，得到下边草图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应当大于圆心到直线l2的距离＋1，故选A.
答案：A
4．(2022·济宁一模，6)过点(－2,0)且倾斜角为的直线l与圆x2＋y2＝5相交于M，N两点，则线段MN的长为( )
A．2 B．3
C．2 D．6
解析：l的方程为x－y＋2＝0，圆心(0,0)到直线l的距离d＝，则弦长|MN|＝2＝2.
答案：C
5．(2022·武汉一模，6)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
解析：依题意，设圆心坐标为(a,1)，其中a>0，则有＝1，解得a＝2或a＝－(舍去)，因此所求圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.
答案：A
6．(2022·北京顺义一模，6)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为12，则圆C的方程为( )
A．(x±)2＋y2＝ B．(x±)2＋y2＝
C．x2＋(y±)2＝ D．x2＋(y±)2＝
解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为π，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，
解得r＝，即r2＝，|a|＝，
即a＝±，故圆C的方程为
x2＋(y±)2＝.
答案：C
7．(2021·江西，9)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )
A. B．－
C．± D．－
解析：如图，曲线y＝为上半圆．
S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB
＝sin∠AOB
当∠AOB＝时，S△AOB取最大．
此时·＝0.
设直线方程为：y＝k(x－)，代入x2＋y2＝1中，
(1＋k2)x2－2k2x＋2k2－1＝0，
∴x1＋x2＝，x1·x2＝.
若A、B坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－)(x2－)．
＝x1x2＋k2x1x2－k2(x1＋x2)＋2k2
＝2k2－1－＋2k2
＝＝0.
∴3k2－1＝0
∴k＝±.
结合图形知k＝－.故选B.
答案：B
8．(2021·山东理，9)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
解析：过点(3,1)与切点A、B的圆的方程为(x－2)2＋(y－)2＝，两圆的方程相减可得2x＋y－3＝0，即为直线AB的方程．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．设集合A＝{(x，y)|≤(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R}，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________．
解析：∵A∩B≠∅，∴A≠∅，从而m2≥，推出m≥，或m＝0(舍去)，令l1：x＋y－2m＝0，l2：x＋y－2m－1＝0，由直线的位置分析，随着m的增大，直线l1和l2往右上方平移，直至和大圆与l1相切为止，则＝m，(m>1)，所以2m－2＝m，
所以m＝＝2＋.
综上，m的取值范围为[，2＋]．
答案：[，2＋]
10．(2022·河南三市模拟，15)已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．
解析：设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，则r2＝d2＋()2＝10，故圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.
答案：x2＋(y－1)2＝10
11．已知集合A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}，集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}．若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是________．
解析：如图，A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}表示直线x－y＋m＝0及其右下方区域，B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}表示圆x2＋y2＝1及其内部，要使A∩B＝∅，则直线x－y＋m＝0在圆x2＋y2＝1的下方，即>1，故m<－.
答案：m<－
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.
(1)求直线PQ与圆C的方程；
(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．
解：(1)直线PQ的方程为：x＋y－2＝0，
设圆心C(a，b)半径为r，
由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－＝x－，
即y＝x－1，所以b＝a－1.①
又由在y轴上截得的线段长为4，知r2＝12＋a2，
可得(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2，②
由①②得：a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.
当a＝1，b＝0时，r2＝13满足题意，
当a＝5，b＝4时，r2＝37不满足题意，
故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.
(2)设直线l的方程为y＝－x＋m，A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，由题意可知OA⊥OB，即·＝0，
∴x1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0，
化简得2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝0.③
由得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0，
∴x1＋x2＝m＋1，x1x2＝.
代入③式，得m2－m·(1＋m)＋m2－12＝0，
∴m＝4或m＝－3，经检验都满足判别式Δ>0，
∴y＝－x＋4或y＝－x－3.
13．设直线l的方程为y＝kx＋b(其中k的值与b无关)，圆M的方程为x2＋y2－2x－4＝0.
(1)假如不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；
(2)b＝1时，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
解：圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝5，
∴圆心M的坐标为(1,0)，半径为r＝.
(1)∵不论k取何值，直线l总过点P(0，b)，
∴欲使l与圆M总有两个不同的交点，必需且只需点P在圆M的内部，即|MP|<，即1＋b2<5，
∴－2<b<2，即b的取值范围是(－2,2)．
(2)当l过圆心M时，|AB|的值最大，最大值为圆的直径长2.当l⊥MP时，此时|MP|最大，|AB|的值最小，|MP|2＝()2＝＝1＋≤1＋＝2，当且仅当k＝1时取等号．最小值为2＝2＝2.
14．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
(1)若Q(1,0)，求切线QA，QB的方程；
(2)求四边形QAMB面积的最小值；
(3)若|AB|＝，求直线MQ的方程．
解：(1)设过点Q的圆M的切线方程为x＝my＋1，
则圆心M到切线的距离为1，
∴＝1∴m＝－或0，
∴QA，QB的方程分别为3x＋4y－3＝0和x＝1.
(2)∵MA⊥AQ，∴S四边形MAQB＝|MA|·|QA|＝|QA|＝＝≥＝.
∴四边形QAMB面积的最小值为.
(3)设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，
∴|MP|＝＝.
在Rt△MBQ中，|MB|2＝|MP||MQ|，
即1＝|MQ|，∴|MQ|＝3，∴x2＋(y－2)2＝9.
设Q(x,0)，则x2＋22＝9，∴x＝±，∴Q(±，0)，
∴MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.
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