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课时跟踪训练
1．设向量a＝(m,1)，b＝(2，－3)，若满足a∥b，则m＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：依题意得－3m－2×1＝0，m＝－，选D.
答案：D
2．(2022年武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：以F为坐标原点，FP，FG所在直线为x，y轴建系，假设一个方格长为单位长，则F(0,0)，O(3,2)，P(5,0)，Q(4,6)，则＝(2，－2)，＝(1,4)，所以＋＝(3,2)，而恰好＝(3,2)，故＋＝.
答案：D
3．已知向量a，b满足：|a|＝2，|b|＝3，|a－2b|＝5，则|a＋2b|＝( )
A. B．7
C. D．2
解析：∵|a－2b|＝5，∴a2＋4b2－4a·b＝25，∵|a|＝2，|b|＝3，∴4a·b＝15，∴|a＋2b|＝＝＝＝，故选A.
答案：A
4．(2022年新课标卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．5
解析：由条件可得，(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，两式相减得4a·b＝4，所以a·b＝1.
答案：A
5．设O为△ABC内部的一点，且＋＋2 ＝0，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为( )
A. B.
C．2 D．1
解析：依据题设条件，∵＋＋2 ＝0，∴＋＝－2 ＝2 (D为边AB的中点)，则点A，B到OC的距离相等，OC边公用，则△AOC，△BOC的面积相等，选D.
答案：D
6．AD，BE分别是△ABC的中线，若||＝||＝1，且与的夹角为120°，则·＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵||＝||＝1，且与的夹角为120°，
∴·＝||×||×cos 120°＝－.
由，得，
∴·＝(－)·
＝
＝＝，选D.
答案：D
7．已知直角坐标系内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)使平面内的任意一个向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(0，＋∞)
B．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)
C．(－∞，3)∪(3，＋∞)
D．[－3,3)
解析：由题意可知向量a与b为基底，所以不共线，≠，得m≠－3，选B.
答案：B
8．已知点A(3,0)，B(－3,0)，动点M(x，y)满足·＝0，则x＋y的取值范围是( )
A．[－，] B．[－3，3]
C．(－∞，3] D．[－3，＋∞)
解析：由题意知·＝(3－x，－y)·(－3－x，－y)＝0，即x2＋y2＝9，设x＝3cos t，y＝3sin t，其中t为参数，则x＋y＝3cos t＋3sin t＝3sin∈[－3，3 ]．
答案：B
9．(2022年武汉调研)给出以下结论：
①在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形ABCD是平行四边形；②已知三角形ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则·＝20；③已知正方形ABCD的边长为1，则|＋＋|＝2；④已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则A、B、D三点共线．其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：对于①，由于＝＋，所以＝，DC＝AB且DC∥AB，故四边形ABCD为平行四边形；对于②，·＝abcos(180°－C)＝－abcos C＝－20；对于③，|＋＋|＝|2 |＝2||＝2；对于④，由于＝a＋5b，＝＋＝a＋5b，所以＝，A、B、D三点共线．综上可得，①③④正确，故选C.
答案：C
10．称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则( )
A．a⊥b B．b⊥(a－b)
C．a⊥(a－b) D．(a＋b)⊥(a－b)
解析：由于d(a，b)＝|a－b|，因此对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，即|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2，t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0对任意的t∈R都成立，因此有(－2a·b)2－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)2≤0，得a·b－1＝0，故a·b－b2＝b·(a－b)＝0，故b⊥(a－b)，故选B.
答案：B
11．(2022年大庆模拟)向量，在正方形网格中的位置如图所示．设向量a＝－λ ，若a⊥，则实数λ＝________.
解析：建立如图所示的坐标系，可得＝(3,2)，＝(2,0)，a＝－λ ＝(3－2λ，2)，
由a⊥得(3－2λ，2)·(2,0)＝0，得λ＝.
答案：
12．在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别为BC、DC的中点，则·＝________.
解析：由于＝＋，＝＋，·＝0，所以·＝·＝＋＝1.
答案：1
13．已知向量与的夹角为60°，且||＝3，||＝2，若点P在直线BC上，＝λ＋μ，且⊥，则＝________.
解析：以A点为原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C(1，)．设点P(x0，y0)，由⊥可求得，直线AP和BC的交点P的坐标为，由＝λ ＋μ 得，λ＝，μ＝，所以＝6.
答案：6
14．(2022年南京模拟)在△ABC中，BC＝2，A＝，则·的最小值为________．
解析：在△ABC中，设BC＝a，AB＝c，AC＝b，又BC＝2，A＝，依据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得b2＋c2＋bc＝4≥3bc，bc≤(当且仅当b＝c时取等号).·＝bccos A＝－bc≥－×＝－.
答案：－
15．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a与b的夹角的正切值为－，b与c的夹角的正切值为－，|b|＝2，则a·c的值为________．
解析：由a＋b＋c＝0，知向量a，b，c可组成如图所示的△ABC，其中＝a，＝b，＝c，可知tan C＝，tan A＝，所以tan B＝－tan(A＋C)＝＝－1，从而sin A＝，sin B＝，sin C＝，cos B＝－，依据正弦定理，
可得＝＝，故|a|＝，|c|＝，从而a·c＝|a|×|c|×cos(π－B)＝××＝.
答案：
16．已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，tan A＝，若 ＋ ＝2m ，则m＝________.
解析：设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，由tan A＝，A为锐角得sin A＝，cos A＝.
∵ ＋ ＝2m ，
∴c2＋·b2＋2bccos A＝4m2R2(R为△ABC外接圆的半径)．
由正弦定理得cos2 B＋cos2C＋2cos Bcos Ccos A＝m2，①
cos C＝－cos(B＋A)＝sin A·sin B－cos A·cos B＝sin B－cos B，②
②代入①并化简得m2＝，
由已知得m＞0，∴m＝.
答案：
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