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第5讲 椭 圆
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为
( )
A．4 B．3 C．2 D．5
解析 由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，
∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.
答案 A
2．已知椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于
( )
A．4 B．8 C．4或8 D．以上均不对
解析 由得2<m<10，
由题意知(10－m)－(m－2)＝4或(m－2)－(10－m)＝4，
解得m＝4或m＝8.
答案 C
3．(2021·诸暨质量检测)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是
( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是＋＝1，故选C.
答案 C
4．(2022·宁波二中一模)已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有
( )
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
解析 当∠PF1F2为直角时，依据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个．
答案 C
5．(2021·辽宁卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为
( )
A. B. C. D.
解析 如图，设|AF|＝x，则cos∠ABF＝＝.
解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，△FAF1是直角三角形，所以|F1F|＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，∴＝.
答案 B
二、填空题
6．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
解析 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
答案 7
7．已知椭圆＋＝1 (a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，的值等于________．
解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，由于点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以＝＝＝3.
答案 3
8．(2021·杭州二中调研)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
解析 设P(x，y)，则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①
将y2＝b2－x2代入①式解得
x2＝＝，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝∈.
答案
三、解答题
9．(2022·新课标全国Ⅱ卷)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解 (1)依据c＝及题设知M，＝，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去)．故C的离心率为.
(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.
①
由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.
②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，
故a＝7，b＝ 2 .
10.(2022·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
(1)若点C的坐标为，且|BF2|＝，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
解 设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)由于B(0，b)，所以|BF2|＝＝a.
又|BF2|＝，故a＝.
由于点C在椭圆上，
所以＋＝1，解得b2＝1.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由于B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，
所以直线AB的方程为＋＝1.
解方程组得
所以点A的坐标为.
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.
由于直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以·＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.
故e2＝，因此e＝.
力量提升题组
(建议用时：35分钟)
11．(2022·金华十校测试与评估)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|＝
( )
A. B．3 C. D．2
解析 依题意得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋(|AF2|＋|BF2|)＝|AB|＋(|AF2|＋|BF2|)＝3|AB|＝4×2，|AB|＝，故选C.
答案 C
12．在椭圆＋＝1内，通过点M(1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为
( )
A．x＋4y－5＝0 B．x－4y－5＝0
C．4x＋y－5＝0 D．4x－y－5＝0
解析 设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由①－②，得
＋＝0，
因所以＝－＝－，
所以所求直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋4y－5＝0.
答案 A
13．(2021·陕西五校联考)椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．
解析 设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.
又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，
当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．
此时4a＝12，则a＝3.故椭圆方程为＋＝1，
所以c＝2，所以e＝＝.
答案
14．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)假如＝2，求椭圆C的方程．
解 (1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2及l的倾斜角为60°，知y1<0，y2>0，直线l的方程为y＝(x－2)．
由消去x，
整理得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.
解得y1＝，y2＝.
由于＝2，所以－y1＝2y2，
即＝2·，解得a＝3.
而a2－b2＝4，所以b2＝5.故椭圆C的方程为＋＝1.
15．(2022·陕西卷)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)经过点(0，)，离心率为，左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
解 (1)由题设知解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝，由d＜1，得|m|＜.(*)
∴|CD|＝2＝2＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
∴|AB|＝
＝.
由＝，得＝1，解得m＝±，满足(*)．
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
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