2021年高考数学(浙江专用-理科)二轮专题复习讲练：专题六--第4讲.docx

第4讲概率考情解读(1)选择、填空题中常考古典概型和几何概型的基本应用，难度较小(2)解答题中常将古典概型与概率的基本性质相结合，侧重考查规律思维力气，学问的综合应用力气1概率的五个基本性质(1)随机大事的概率：0P(A)1.(2)必定大事的概率是1.(3)不行能大事的概率是0.(4)若大事A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)(5)若大事A，B对立，则P(AB)P(A)P(B)1，P(A)1P(B)2两种常见的概率模型(1)古典概型特点：有限性，等可能性概率公式：P(A).(2)几何概型特点：无限性，等可能性P(A).热点一古典概型例1(2021山东)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身凹凸于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率思维启迪列举选法的全部状况，统计符合条件的方法数，然后使用古典概型的概率公式解(1)从身凹凸于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本大事有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6个设“选到的2人身高都在1.78以下”为大事M，其包括的大事有3个，故P(M).(2)从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本大事有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10个设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)”为大事N，且大事N包括大事有：(C，D)，(C，E)，(D，E)共3个则P(N).思维升华求古典概型概率的步骤(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意；(2)推断试验是否为古典概型，并用字母表示所求大事；(3)利用列举法求出总的基本大事的个数n及大事A中包含的基本大事的个数m；(4)计算大事A的概率P(A).(1)一个口袋中有红球3个，白球4个从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，则摸2次恰好第2次中奖的概率为_答案解析设“摸2次恰好第2次中奖”为大事A，则P(A)，所以，摸2次恰好第2次中奖的概率为.(2)甲、乙两人玩猜数字玩耍，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1,2,3,4,5,6，若|ab|1，就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个玩耍，则他们“心有灵犀”的概率为()A. B.C. D.答案D解析依据题目条件知全部的数组(a，b)共有6236组，而满足条件|ab|1的数组(a，b)有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16组，依据古典概型的概率公式知所求的概率为P.故选D.热点二几何概型例2(1)(2022湖南)在区间2,3上随机选取一个数X，则X1的概率为()A. B.C. D.(2)(2021四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B. C. D.思维启迪(1)几何概型，试验结果构成的区域长度；(2)几何概型，试验结果构成的区域为面积答案(1)B(2)C解析(1)在区间2,3上随机选取一个数X，则X1，即2X1的概率为p.(2) 如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知，所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|xy|2).思维升华当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和大事发生的区域的查找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域(1)在区间3,3上随机取一个数x，使得函数f(x)1有意义的概率为_(2)已知P是ABC所在平面内一点，20，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是()A. B.C. D.答案(1)(2)D解析(1)由得f(x)的定义域为3,1，由几何概型的概率公式，得所求概率为P.(2)取边BC上的中点D，由20，得2，而由向量的中点公式知2，则有，即P为AD的中点，则SABC2SPBC，依据几何概率的概率公式知，所求的概率为.热点三互斥大事与对立大事例3某项活动的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人通晓两种外语)已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为，通晓中文和日语的概率为.若通晓中文和韩语的人数不超过3人(1)求这组志愿者的人数；(2)现在从这组志愿者中选出通晓英语的志愿者1名，通晓韩语的志愿者1名，若甲通晓英语，乙通晓韩语，求甲和乙不全被选中的概率思维启迪无人通晓两种外语说明抽1人，其通晓英语、通晓日语、通晓韩语是互斥的解(1)设通晓中文和英语的人数为x，通晓中文和日语的人数为y，通晓中文和韩语的人数为z，且x，y，zN*，则解得所以这组志愿者的人数为53210.(2)设通晓中文和英语的人为A1，A2，A3，A4，A5，甲为A1，通晓中文和韩语的人为B1，B2，乙为B1，则从这组志愿者中选出通晓英语和韩语的志愿者各1名的全部状况为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A5，B1)，(A5，B2)，共10种，同时选中甲、乙的只有(A1，B1)1种所以甲和乙不全被选中的概率为1.思维升华求解互斥大事、对立大事的概率问题时，一要先利用条件推断所给的大事是互斥大事，还是对立大事；二要将所求大事的概率转化为互斥大事、对立大事的概率；三要精确利用互斥大事、对立大事的概率公式去计算所求大事的概率 (2021江西)小波以玩耍方式打算是去打球、唱歌还是去下棋玩耍规章为：以O为起点，再从A1、A2、A3、A4、A5、A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X0就去打球，若X0就去唱歌，若X0，即ab.在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b)的全部可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而大事A“方程x2有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)由几何概型公式可得P(A).5有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为()A. B. C. D.答案D解析有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有C210种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果毁灭的可能性是相等的；设大事A为“取出球的编号互不相同，”则大事A包含了CCCCC80个基本大事，所以P(A).6在区间0,2上任取两个实数a，b，则函数f(x)x3axb在区间1,1上有且仅有一个零点的概率是()A. B.C. D.答案D解析由于f(x)3x2a，由于a0，故f(x)0恒成立，故函数f(x)在1,1上单调递增，故函数f(x)在区间1,1上有且只有一个零点的充要条件是即设点(a，b)，则基本大事所在的区域是画出平面区域，如图所示，依据几何概型的意义，所求的概率是以图中阴影部分的面积和以2为边长的正方形的面积的比值，这个比值是.故选D.二、填空题7点A为周长等于3的圆周上的一个定点若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为_答案解析如图，设A，M，N为圆周的三等分点，当B点取在优弧上时，对劣弧来说，其长度小于1，故其概率为.8(2021江苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_答案解析P.9抛掷甲、乙两枚质地均匀且四周上分别标有1,2,3,4的正四周体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则为整数的概率是_答案解析将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四周体所得的数字x，y记作有序实数对(x，y)，共包含16个基本大事，其中为整数的有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8个基本大事，故所求的概率为.10已知区域(x，y)|xy10，x0，y0，A(x，y)|xy0，x5，y0，若向区域上随机投1个点，则这个点落入区域A的概率P(A)_.答案解析作出如图所示的可行域，易得区域的面积为101050，区域A(阴影部分)的面积为55.故该点落在区域A的概率P(A).三、解答题11一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率解设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为大事A，则P(A).所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.12设O为坐标原点，点P的坐标为(x2，xy)(1)在一个盒子中，放有标号为1,2,3的三张卡片，现从今盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求大事“|OP|取到最大值”的概率；(2)若利用计算机随机在0,3上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率解(1)记抽到的卡片标号为(x，y)，全部的状况分别如表所示：(x，y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)P(x2，xy)(1，0)(1，1)(1，2)(0,1)(0,0)(0，1)(1,2)(1,1)(1,0)|OP|11011其中基本大事的总数为9，随机大事A为“|OP|取到最大值”包含2个基本大事，故所求的概率为P(A).(2)设大事B为“P点在第一象限”若则其所表示的区域面积为339.由题意可得大事B满足即如图所示的阴影部分，其区域面积为1311.故P(B).13现有8名数理化成果优秀者，其中A1，A2，A3数学成果优秀，B1，B2，B3物理成果优秀，C1，C2化学成果优秀从中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，组成一个小组代表学校参与竞赛(1)求C1被选中的概率；(2)求A1和B1不全被选中的概率解(1)从8人中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本大事空间为(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)由18个基本大事组成由于每一个基本大事被抽取的机会均等因此这些基本大事的发生是等可能的用M表示“C1恰被选中”这一大事，则M(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)大事M由9个基本大事组成，因而P(M).(2)用N表示“A1，B1不全被选中”这一大事，则其对立大事表示“A1，B1全被选中”这一大事，由于(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，大事由2个基本大事组成，所以P().由对立大事的概率公式得P(N)1P()1.