2021年高考数学(浙江专用-理科)二轮专题复习讲练：专题六--第4讲.docx

第4讲　概　率
考情解读　(1)选择、填空题中常考古典概型和几何概型的基本应用，难度较小．(2)解答题中常将古典概型与概率的基本性质相结合，侧重考查规律思维力气，学问的综合应用力气．

1．概率的五个基本性质
(1)随机大事的概率：0≤P(A)≤1.
(2)必定大事的概率是1.
(3)不行能大事的概率是0.
(4)若大事A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)若大事A，B对立，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
2．两种常见的概率模型
(1)古典概型
①特点：有限性，等可能性．
②概率公式：P(A)＝.
(2)几何概型
①特点：无限性，等可能性．
②P(A)＝
.
热点一　古典概型
例1　(2021·山东)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：

A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身凹凸于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
思维启迪　列举选法的全部状况，统计符合条件的方法数，然后使用古典概型的概率公式．
解　(1)从身凹凸于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本大事有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6个．设“选到的2人身高都在1.78以下”为大事M，其包括的大事有3个，故P(M)＝＝.
(2)从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本大事有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10个．
设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为大事N，且大事N包括大事有：(C，D)，(C，E)，(D，E)共3个．
则P(N)＝.
思维升华　求古典概型概率的步骤
(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意；
(2)推断试验是否为古典概型，并用字母表示所求大事；
(3)利用列举法求出总的基本大事的个数n及大事A中包含的基本大事的个数m；
(4)计算大事A的概率P(A)＝.
　(1)一个口袋中有红球3个，白球4个．从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，则摸2次恰好第2次中奖的概率为________．
答案　
解析　设“摸2次恰好第2次中奖”为大事A，则P(A)＝＝，
所以，摸2次恰好第2次中奖的概率为.
(2)甲、乙两人玩猜数字玩耍，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个玩耍，则他们“心有灵犀”的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　依据题目条件知全部的数组(a，b)共有62＝36组，而满足条件|a－b|≤1的数组(a，b)有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16组，依据古典概型的概率公式知所求的概率为P＝＝.故选D.
热点二　几何概型
例2　(1)(2022·湖南)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2021·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(　　)
A. B. C. D.
思维启迪　(1)几何概型，试验结果构成的区域长度；(2)几何概型，试验结果构成的区域为面积．
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为p＝.
(2) 如图所示，

设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知，所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝＝＝＝.
思维升华　当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和大事发生的区域的查找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
　(1)在区间[－3,3]上随机取一个数x，使得函数f(x)＝＋－1有意义的概率为________．
(2)已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)　(2)D
解析　(1)由得f(x)的定义域为[－3,1]，由几何概型的概率公式，得所求概率为P＝＝.
(2)取边BC上的中点D，由＋＋2＝0，得＋＝2，而由向量的中点公式知＋＝2，则有＝，即P为AD的中点，则S△ABC＝2S△PBC，依据几何概率的概率公式知，所求的概率为.
热点三　互斥大事与对立大事
例3　某项活动的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人通晓两种外语)．已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为，通晓中文和日语的概率为.若通晓中文和韩语的人数不超过3人．
(1)求这组志愿者的人数；
(2)现在从这组志愿者中选出通晓英语的志愿者1名，通晓韩语的志愿者1名，若甲通晓英语，乙通晓韩语，求甲和乙不全被选中的概率．
思维启迪　无人通晓两种外语说明抽1人，其通晓英语、通晓日语、通晓韩语是互斥的．
解　(1)设通晓中文和英语的人数为x，通晓中文和日语的人数为y，通晓中文和韩语的人数为z，且x，y，z∈N*，则
解得
所以这组志愿者的人数为5＋3＋2＝10.
(2)设通晓中文和英语的人为A1，A2，A3，A4，A5，甲为A1，通晓中文和韩语的人为B1，B2，乙为B1，则从这组志愿者中选出通晓英语和韩语的志愿者各1名的全部状况为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A5，B1)，(A5，B2)，共10种，
同时选中甲、乙的只有(A1，B1)1种．
所以甲和乙不全被选中的概率为1－＝.
思维升华　求解互斥大事、对立大事的概率问题时，一要先利用条件推断所给的大事是互斥大事，还是对立大事；二要将所求大事的概率转化为互斥大事、对立大事的概率；三要精确     利用互斥大事、对立大事的概率公式去计算所求大事的概率．
(2021·江西)小波以玩耍方式打算是去打球、唱歌还是去下棋．玩耍规章为：以O为起点，再从A1、A2、A3、A4、A5、A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．

(1)写出数量积X的全部可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
解　(1)X的全部可能取值为－2，－1,0,1.
(2)数量积为－2的有·，共1种；
数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；
数量积为0的有·，·，·，·，共4种；
数量积为1的有·，·，·，·，共4种．
故全部可能的状况共有15种．
所以小波去下棋的概率为P1＝；
由于去唱歌的概率为P2＝，
所以小波不去唱歌的概率为P＝1－P2＝1－＝.

1．互斥大事与对立大事的关系
(1)对立确定互斥，互斥未必对立；
(2)可将所求大事化为互斥大事A、B的和，再利用公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)来求，也可通过对立大事公式P()＝1－P(A)来求P(A)．
2．古典概型与几何概型

古典概型
特点
①有限性　②等可能性
计算公式
P(A)＝

几何概型
特点
①无限性　②等可能性
计算公式
P(A)＝

真题感悟
1．(2022·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　取两个点的全部状况为C＝10，全部距离不小于正方形边长的状况有6种，概率为＝.故选C.
2．(2022·福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估量阴影部分的面积为________．

答案　0.18
解析　由题意知，这是个几何概型问题，
＝＝0.18，
∵S正＝1，∴S阴＝0.18.
押题精练

1．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字构成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由于时钟一分钟显示一次，故总的显示方法数为24×60＝1 440(种)，四个数字之和为23的有09：59,18：59,19：49,19：58四种状况，故所求概率为＝.

2．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(　　)
A．1－
B.－
C.
D.
答案　A
解析　

设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.
不妨令OA＝OB＝2，
则OD＝DA＝DC＝1.
在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝＋×1×1－＝1，
所以整体图形中空白部分面积S2＝2.
又由于S扇形OAB＝×π×22＝π，
所以阴影部分面积为S3＝π－2.所以P＝＝1－.
3．甲、乙、丙3位老师支配在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多支配1人，则恰好甲支配在另外两位老师前面值班的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　第一种状况：甲支配在第一天，则有A＝12种；其次种状况，甲支配在第三天，则有A＝6种；甲支配在其次天，则有A＝2种，所以P＝＝.

(推举时间：60分钟)
一、选择题
1．(2022·课标全国Ⅰ)4位同学各拘束周六、周日两天中任选一天参与公益活动，则周六、周日都有同学参与公益活动的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　4名同学各拘束周六、周日两天中任选一天参与公益活动的状况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参与的各有1种，∴所求概率为1－＝.
2．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为(　　)
A. B．1－
C. D．1－
答案　D
解析　P＝＝1－.
3．一个袋中有3个黑球，2个白球共5个大小相同的球，每次摸出一球，放进袋里再摸其次次，则两次摸出的球都是白球的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　有放回地摸球，基本大事总数为25；两次都是白球所包含的基本大事为4.所以两次摸出的球都是白球的概率为.
4．若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，则方程x＝2－有不等实数根的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　方程x＝2－，即x2－2x＋2b＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(－2)2－4×2b>0，
即a>b.

在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b)的全部可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而大事A“方程x＝2－有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)．
由几何概型公式可得P(A)＝＝.
5．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有C＝210种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果毁灭的可能性是相等的；设大事A为“取出球的编号互不相同，”
则大事A包含了C·C·C·C·C＝80个基本大事，
所以P(A)＝＝.
6．在区间[0,2]上任取两个实数a，b，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由于f′(x)＝3x2＋a，由于a≥0，故f′(x)≥0恒成立，

故函数f(x)在[－1,1]上单调递增，故函数f(x)在区间[－1,1]上有且只有一个零点的充要条件是即
设点(a，b)，则基本大事所在的区域是画出平面区域，如图所示，依据几何概型的意义，所求的概率是以图中阴影部分的面积和以2为边长的正方形的面积的比值，这个比值是.故选D.
二、填空题
7．点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为___________________________________．
答案　
解析　

如图，设A，M，N为圆周的三等分点，当B点取在优弧上时，对劣弧来说，其长度小于1，故其概率为.
8．(2021·江苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．
答案　
解析　P＝＝.
9．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四周上分别标有1,2,3,4的正四周体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则为整数的概率是________．
答案　
解析　将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四周体所得的数字x，y记作有序实数对(x，y)，共包含16个基本大事，其中为整数的有
(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8个基本大事，故所求的概率为＝.
10．已知区域Ω＝{(x，y)|x＋y≤10，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x－y≥0，x≤5，y≥0}，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A的概率P(A)＝________.
答案　
解析　作出如图所示的可行域，

易得区域Ω的面积为×10×10＝50，区域A(阴影部分)的面积为×5×5＝.故该点落在区域A的概率P(A)＝＝.
三、解答题
11．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
解　设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为大事A，则P(A)＝＝.
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.
12．设O为坐标原点，点P的坐标为(x－2，x－y)．
(1)在一个盒子中，放有标号为1,2,3的三张卡片，现从今盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求大事“|OP|取到最大值”的概率；
(2)若利用计算机随机在[0,3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．
解　(1)记抽到的卡片标号为(x，y)，全部的状况分别如表所示：
(x，y)
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
P(x－2，x－y)
(－1，0)
(－1，－1)
(－1，－2)
(0,1)
(0,0)
(0，－1)
(1,2)
(1,1)
(1,0)
|OP|
1

1
0
1

1

其中基本大事的总数为9，随机大事A为“|OP|取到最大值”包含2个基本大事，故所求的概率为P(A)＝.
(2)设大事B为“P点在第一象限”．
若则其所表示的区域面积为3×3＝9.
由题意可得大事B满足即如图所示的阴影部分，其区域面积为1×3－×1×1＝.
故P(B)＝＝.
13．现有8名数理化成果优秀者，其中A1，A2，A3数学成果优秀，B1，B2，B3物理成果优秀，C1，C2化学成果优秀．从中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，组成一个小组代表学校参与竞赛．
(1)求C1被选中的概率；
(2)求A1和B1不全被选中的概率．
解　(1)从8人中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本大事空间为
Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}．
由18个基本大事组成．由于每一个基本大事被抽取的机会均等．
因此这些基本大事的发生是等可能的．
用M表示“C1恰被选中”这一大事，则
M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)}．
大事M由9个基本大事组成，因而P(M)＝＝.
(2)用N表示“A1，B1不全被选中”这一大事，
则其对立大事表示“A1，B1全被选中”这一大事，
由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，大事由2个基本大事组成，所以P()＝＝.
由对立大事的概率公式得
P(N)＝1－P()＝1－＝.