2021高考数学(福建-理)一轮学案50-直线、圆的位置关系.docx

学案50　直线、圆的位置关系

导学目标： 1.能依据给定直线、圆的方程，推断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简洁的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．

自主梳理
1．直线与圆的位置关系
位置关系有三种：________、________、________.
推断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
(1)代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式Δ
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：
d<r⇔________，d＝r⇔________，d>r⇔________.
2．圆的切线方程
若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为____________________________．
注：点P必需在圆x2＋y2＝r2上．
经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为________________________．
3．计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．
(2)代数方法
运用韦达定理及弦长公式
|AB|＝|xA－xB|
＝.
说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
4．圆与圆的位置关系
(1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________.
推断圆与圆的位置关系常用方法：
(几何法)设两圆圆心分别为O1、O2，半径为r1、r2 (r1≠r2)，则|O1O2|>r1＋r2________；|O1O2|＝r1＋r2______；|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2________；|O1O2|＝|r1－r2|________；0≤|O1O2|<|r1－r2|________．
(2)已知两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则与两圆共交点的圆系方程为________________________________________________________________，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括其次个圆．
当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
自我检测
1．(2010·江西)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　　)
A.
B.∪
C.
D.
2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
3．(2011·宁夏调研)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
4．过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．2 B．2 C．3 D．2
5．(2011·聊城月考)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离

探究点一　直线与圆的位置关系
例1　已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值时点P的坐标．

变式迁移1　从圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程．

探究点二　圆的弦长、中点弦问题
例2　(2011·汉沽模拟)已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．

变式迁移2　已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0.
(1)证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；
(2)求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长．

探究点三　圆与圆的位置关系
例3　已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，
(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．

变式迁移3　已知⊙A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，⊙B：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0.当a，b变化时，若⊙B始终平分⊙A的周长，求：
(1)⊙B的圆心B的轨迹方程；
(2)⊙B的半径最小时圆的方程．

探究点四　综合应用
例4　已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

变式迁移4　已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若O为坐标原点，且·＝12，求k的值．

1．求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但留意有两条．
2．解决与弦长有关的问题时，留意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式．这就是通常所说的“几何法”和“代数法”．
3．推断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切或相交
C．相交 D．相切
2．(2011·珠海模拟)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于(　　)
A.或－ B．－或3
C．－3或 D．－3或3
3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为(　　)
A. B．2
C. D．2
4．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是(　　)
A．(4,6) B．[4,6)
C．(4,6] D．[4,6]
5．(2010·全国Ⅰ)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为(　　)
A．－4＋ B．－3＋
C．－4＋2 D．－3＋2

二、填空题(每小题4分，共12分)
6．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
7．(2011·三明模拟)已知点A是圆C：x2＋y2＋ax＋4y－5＝0上任意一点，A点关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________.
8．(2011·杭州高三调研)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)圆x2＋y2＝8内一点P(－1,2)，过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点．
(1)当α＝时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．

10．(12分)(2011·湛江模拟)自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．

11．(14分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

学案50　直线、圆的位置关系
自主梳理
1．相切　相交　相离　(1)相交　相切　相离　(2)相交　相切　相离　2.x0x＋y0y＝r2　(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2　4.(1)相离　外切　相交　内切　内含　相离　外切　相交　内切　内含　(2)(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0
自我检测
1．A　2.D　3.B　4.B　5.B
课堂活动区
例1　解题导引　(1)过点P作圆的切线有三种类型：
当P在圆外时，有2条切线；
当P在圆上时，有1条切线；
当P在圆内时，不存在．
(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，确定要留意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类．
(3)切线长的求法：
过圆C外一点P作圆C的切线，切点为M，半径为R，
则|PM|＝.
解　(1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，
由＝，解得k＝2±，得y＝(2±)x.
②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，
设直线方程为x＋y－a＝0，
由＝，
得|a－1|＝2，即a＝－1，或a＝3.
∴直线方程为x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
综上，圆的切线方程为y＝(2＋)x，或y＝(2－)x，
或x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
(2)由|PO|＝|PM|，
得x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，
整理得2x1－4y1＋3＝0.
即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．
当|PM|取最小值时，即OP取得最小值，直线OP⊥l，
∴直线OP的方程为2x＋y＝0.
解方程组得点P的坐标为.
变式迁移1　解　设圆切线方程为y－3＝k(x－2)，
即kx－y＋3－2k＝0，∴1＝，
∴k＝，另一条斜率不存在，方程为x＝2.
∴切线方程为x＝2和3x－4y＋6＝0.
圆心C为(1,1)，∴kPC＝＝2，
∴过两切点的直线斜率为－，又x＝2与圆交于(2,1)，
∴过切点的直线为x＋2y－4＝0.
例2　解题导引　(1)有关圆的弦长的求法：
已知直线的斜率为k，直线与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点C到l的距离为d，圆的半径为r.
方法一　代数法：弦长|AB|＝|x2－x1|
＝·；
方法二　几何法：弦长|AB|＝2.
(2)有关弦的中点问题：
圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系．
解　(1)方法一　

如图所示，|AB|＝4，取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB，连接AC、BC，
则|AD|＝2，|AC|＝4，
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点C到直线AB的距离公式，得＝2，
解得k＝.
当k＝时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.
∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.
方法二　当直线l的斜率存在时，
设所求直线的斜率为k，
则直线的方程为y－5＝kx，即y＝kx＋5.
联立直线与圆的方程
消去y，得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0.①
设方程①的两根为x1，x2，
由根与系数的关系，得②
由弦长公式，得|x1－x2|
＝＝4.
将②式代入，解得k＝，
此时直线方程为3x－4y＋20＝0.
又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x＝0.
∴所求直线的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，
则CD⊥PD，即·＝0，
(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
变式迁移2　(1)证明　由kx－y－4k＋3＝0，
得(x－4)k－y＋3＝0.
∴直线kx－y－4k＋3＝0过定点P(4,3)．
由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，
即(x－3)2＋(y－4)2＝4，
又(4－3)2＋(3－4)2＝2<4.
∴直线和圆总有两个不同的交点．
(2)解　kPC＝＝－1.
可以证明与PC垂直的直线被圆所截得的弦AB最短，因此过P点斜率为1的直线即为所求，其方程为y－3＝x－4，即x－y－1＝0.|PC|＝＝，
∴|AB|＝2＝2.
例3　解题导引　圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来推断，有时得不到精确     的结论，通常还是从圆心距d与两圆半径和、差的关系入手．
解　对于圆C1与圆C2的方程，经配方后
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)假如C1与C2外切，
则有＝3＋2.
(m＋1)2＋(m＋2)2＝25.
m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.
(2)假如C1与C2内含，
则有<3－2.
(m＋1)2＋(m＋2)2<1，m2＋3m＋2<0，
得－2<m<－1，
∴当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切；
当－2<m<－1时，圆C1与圆C2内含．
变式迁移3　解　(1)两圆方程相减得公共弦方程
2(a＋1)x＋2(b＋1)y－a2－1＝0.①
依题意，公共弦应为⊙A的直径，
将(－1，－1)代入①得a2＋2a＋2b＋5＝0.②
设圆B的圆心为(x，y)，∵，
∴其轨迹方程为x2＋2x＋2y＋5＝0.
(2)⊙B方程可化为(x－a)2＋(y－b)2＝1＋b2.
由②得b＝－[(a＋1)2＋4]≤－2，
∴b2≥4，b2＋1≥5.当a＝－1，b＝－2时，⊙B半径最小，
∴⊙B方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5.
例4　解题导引　这是一道探究存在性问题，应先假设存在圆上两点关于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以AB为直径的圆经过原点O，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决．因此能否将问题合理地转换是解题的关键．
解　圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，
圆心为C(1，－2)．
假设在圆C上存在两点A、B，则圆心C(1，－2)在直线y＝kx－1上，即k＝－1.
于是可知，kAB＝1.
设lAB：y＝x＋b，代入圆C的方程，
整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，

Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0，b2＋6b－9<0，
解得－3－3<b<－3＋3.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－b－1，x1x2＝b2＋2b－2.
由OA⊥OB，知x1x2＋y1y2＝0，
也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，
∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0，
解得b＝－4或b＝1，均满足Δ>0.
即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0.
变式迁移4　解　(1)方法一　∵直线l过点A(0,1)且斜率为k，
∴直线l的方程为y＝kx＋1.
将其代入圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，
得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.①
由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k2)×7>0，
得<k<.
方法二　同方法一得直线方程为y＝kx＋1，
即kx－y＋1＝0.
又圆心到直线距离d＝＝，
∴d＝<1，解得<k<.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由①得，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＋8＝12⇒k＝1(经检验符合题意)，∴k＝1.
课后练习区
1．C　2.C　3.D　4.A　5.D
6．1　7.－10　8.1
9．解　(1)当α＝时，kAB＝－1，
直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(3分)
故圆心(0,0)到AB的距离d＝＝，
从而弦长|AB|＝2 ＝.(6分)
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4.由
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即－2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，
∴kAB＝＝.(10分)
∴直线l的方程为y－2＝(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.(12分)
10.

解　已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切．(4分)
设l的方程为y－3＝k(x＋3)，则
＝1，(8分)
即12k2＋25k＋12＝0.∴k1＝－，k2＝－.
则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.
(12分)
11．解　两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，＝＋.
解得m＝25＋10.(4分)
(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离，故只有－＝5.
解得m＝25－10.(8分)
(3)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0.(12分)
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为
2× ＝2.(14分)