2021高考数学(福建-理)一轮学案52-双曲线.docx

学案52　双曲线

导学目标： 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简洁几何性质.2.理解数形结合的思想．

自主梳理
1．双曲线的概念
平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的确定值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；
(1)当________时，P点的轨迹是________；
(2)当________时，P点的轨迹是________；
(3)当________时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形

性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________，其渐近线方程为________，离心率为________．
自我检测
1．(2011·安徽)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
2．已知双曲线－＝1 (b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·等于(　　)
A．－12 B．－2
C．0 D．4
3．(2011·课标全国)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D．3
4．(2011·武汉调研)已知点(m，n)在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是__________________．
5．已知A(1,4)，F是双曲线－＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求|PF|＋|PA|的最小值．

探究点一　双曲线的定义及应用
例1　已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．

变式迁移1　已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．

探究点二　求双曲线的标准方程
例2　已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4,3)，求双曲线的标准方程．

变式迁移2　(2011·安庆模拟)已知双曲线与椭圆＋＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于，则双曲线的方程为____________．
探究点三　双曲线几何性质的应用
例3　已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．

变式迁移3　已知双曲线C：－y2＝1.
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)已知M点坐标为(0,1)，设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝·，求λ的取值范围．

方程思想的应用
例　(12分)过双曲线－＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面积；
(3)求证：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.
多角度审题　(1)要求弦长|AB|需要A、B两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB；(2)在(1)的基础上只要求点到直线的距离；(3)要充分联想到A、B两点在双曲线上这个条件．
【答题模板】
(1)解　由双曲线的方程得a＝，b＝，
∴c＝＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．
直线AB的方程为y＝(x－3)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得5x2＋6x－27＝0.[2分]
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝.[4分]
(2)解　直线AB的方程变形为x－3y－3＝0.
∴原点O到直线AB的距离为d＝＝.[6分]
∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.[8分]
(3)证明　

如图，由双曲线的定义得
|AF2|－|AF1|＝2，
|BF1|－|BF2|＝2，[10分]
∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，
即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.[12分]
【突破思维障碍】
写出直线方程，联立直线方程、双曲线方程，消元得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，再求点O到直线AB的距离从而求面积，最终利用双曲线的定义求证等式成立．
【易错点剖析】
在直线和双曲线相交的状况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ>0，而导致错解．

1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中a，b，c的大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．
2．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.
3．双曲线标准方程的求法：(1)定义法，依据题目的条件，推断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c，即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：依据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：依据题目条件确定相关的系数．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线左边一支
C．双曲线右边一支 D．一条射线
2．设点P在双曲线－＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于(　　)
A．22 B．16 C．14 D．12
3．(2011·宁波高三调研)过双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C．2 D.
4．双曲线－＝1的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点，则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是(　　)
A．相交 B．相离 C．相切 D．内含
5．(2011·山东)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011·上海)设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.
7．设圆过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．
8．(2011·铜陵期末)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)依据下列条件，求双曲线方程：
(1)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，2)；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．

10．(12分)(2011·广东)设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M(，)，F(，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．

11．(14分)(2010·四川)已知定点A(－1,0)，F(2,0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N.
(1)求E的方程；
(2)试推断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．

学案52　双曲线
自主梳理
1．双曲线　焦点　焦距　(1)a<c　双曲线　(2)a＝c　两条射线　(3)a>c　3.等轴双曲线　y＝±x　e＝
自我检测
1．C　[∵2x2－y2＝8，∴－＝1，
∴a＝2，∴2a＝4.]
2．C
3．B　[设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入－＝1得y2＝b2(－1)＝，∴y＝±，故|AB|＝，依题意＝4a，
∴＝2，∴＝e2－1＝2，∴e＝.]
4．(－∞，4－2]∪[4＋2，＋∞)
5．解　设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知
|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，
∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|.
∴当满足|PF1|＋|PA|最小时，|PF|＋|PA|最小．
由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，
故所求最小值为9.
课堂活动区
例1　解题导引　求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以削减运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特殊留意定义中的条件“差的确定值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．
解　设F(x，y)为轨迹上的任意一点，
由于A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，
所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a
(其中a表示椭圆的长半轴)．
所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|.
所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2.
所以|FA|－|FB|＝2.
由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．
所以点F的轨迹方程是y2－＝1 (y≤－1)．
变式迁移1　解　

设动圆M的半径为r，则由已知得，|MC1|＝r＋，
|MC2|＝r－，
∴|MC1|－|MC2|＝2，
又C1(－4,0)，C2(4,0)，
∴|C1C2|＝8.∴2<|C1C2|.
依据双曲线定义知，点M的轨迹是以
C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．
∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.
∴点M的轨迹方程是－＝1 (x≥)．
例2　解题导引　依据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要留意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种状况争辩．解决本题的方法有两种：一先定位，避开了争辩；二利用其渐近线的双曲线系，同样避开了对双曲线方程类型的争辩．在共渐近线的双曲线系－＝λ (参数λ≠0)中，当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上．
解　方法一　∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，
当x＝4时，y＝2<yp＝3，
∴双曲线的焦点在y轴上．
从而有＝，∴b＝2a.
设双曲线方程为－＝1，
由于点P(4,3)在此双曲线上，
∴－＝1，解得a2＝5.
∴双曲线方程为－＝1.
方法二　∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，
即－y＝0，
∴双曲线的渐近线方程为－y2＝0.
设双曲线方程为－y2＝λ (λ≠0)，
∵双曲线过点P(4,3)，∴－32＝λ，即λ＝－5.
∴所求双曲线方程为－y2＝－5，即－＝1.
变式迁移2　－＝1
解析　由于在椭圆＋＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e＝.依据题意知，双曲线的焦点也应在y轴上，坐标为(0，±4)，且其离心率等于－＝2.故设双曲线的方程为－＝1 (a>0，b>0)，且c＝4，所以a＝c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是双曲线的方程为－＝1.
例3　解题导引　双曲线问题与椭圆问题类似，因而争辩方法也有很多相像之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．
解　(1)由16x2－9y2＝144，得－＝1，
∴a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1(－5,0)，
F2(5,0)，离心率e＝，
渐近线方程为y＝±x.
(2)||PF1|－|PF2||＝6，
cos∠F1PF2＝
＝
＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°.
变式迁移3　解　(1)由于a＝，b＝1，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为y－x＝0，y＋x＝0.
(2)设P点坐标为(x0，y0)，则Q的坐标为(－x0，－y0)，
λ＝·＝(x0，y0－1)·(－x0，－y0－1)
＝－x－y＋1＝－x＋2.
∵|x0|≥，∴λ的取值范围是(－∞，－1]．
课后练习区
1．C　2.A　3.A　4.C
5．A　[∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．
又渐近线方程与圆C相切，
即直线bx－ay＝0与圆C相切，
∴＝2，∴5b2＝4a2.①
又∵－＝1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，
∴a2＋b2＝9.②
由①②得a2＝5，b2＝4.
∴双曲线的标准方程为－＝1.]
6．16
解析　由已知条件有52＝m＋9，所以m＝16.
7.　8.
9．解　(1)方法一　由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，
(2分)
设双曲线的方程为－＝1，
由题意，得
解得a2＝，b2＝4.(4分)
所以双曲线的方程为x2－＝1.(6分)
方法二　设所求双曲线方程－＝λ (λ≠0)，(2分)
将点(－3,2)代入得λ＝，(4分)
所以双曲线方程为－＝，
即x2－＝1.(6分)
(2)设双曲线方程为－＝1.由题意c＝2.(8分)
又双曲线过点(3，2)，∴－＝1.
又∵a2＋b2＝(2)2，
∴a2＝12，b2＝8.(10分)
故所求双曲线的方程为－＝1.(12分)
10．解　(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.
圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为F1(－，0)，半径为2，
圆(x－)2＋y2＝4的圆心为F(，0)，半径为2.
由题意得或
∴||CF1|－|CF||＝4.(4分)
∵|F1F|＝2>4.
∴圆C的圆心轨迹是以F1(－，0)，F(，0)为焦点的双曲线，其方程为－y2＝1.(6分)
(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，

∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，(8分)
且|MF|＝＝2.(9分)
直线MF的方程为y＝－2x＋2，与双曲线方程联立得
整理得15x2－32x＋84＝0.
解得x1＝(舍去)，x2＝.
此时y＝－.(11分)
∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为(，－)．(12分)
11．解　(1)设P(x，y)，
则＝2，
化简得x2－＝1(y≠0)．(5分)
(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2) (k≠0)，与双曲线方程x2－＝1联立消去y，
得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0.
由题意知，3－k2≠0且Δ＞0.(7分)
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2
＝k2＝.
由于x1，x2≠－1，
所以直线AB的方程为y＝(x＋1)．
因此M点的坐标为，
＝.
同理可得＝.
因此·＝×＋
＝＋＝0.(11分)
②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x＝2，则B(2,3)，C(2，－3)．
AB的方程为y＝x＋1，
因此M点的坐标为，＝.
同理可得＝.
因此·＝×＋×＝0.(13分)
综上，·＝0，故FM⊥FN.
故以线段MN为直径的圆过点F.(14分)