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课时作业54 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．在全部的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有( )
A．50个 B．45个
C．36个 D．35个
解析：个位数字是9的有8个，个位数字是8的有7个，…，个位数字是2的有1个，个位数字是1或0的有0个，因此共有8＋7＋6＋…＋1＝36(个)．
答案：C
2．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )
A．6种 B．12种
C．24种 D．30种
解析：4门课程，有1门相同，则4种选法，不同的课程选法，甲有3门，乙就有2门，所以共有4×3×2＝24(种)．
答案：C
3．(2022·临川一中模拟)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位伴侣，每位伴侣1本，则不同的赠送方法共有( )
A．4种 B．10种
C．18种 D．20种
解析：本小题考查的内容是分类计数原理与组合学问的应用．
分两类：1本画册，3本集邮册，赠送方法有C种，2本画册，2本集邮册，赠送方法有C种，共有C＋C＝10(种)．
答案：B
4．(2022·琼海模拟)某食堂每天中午预备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法总数是( )
A．210 B．420
C．56 D．22
解析：由分类加法计数原理：两类配餐方法和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法总数为：CC＋CC＝210.
答案：A
5．(2022·西安模拟)某省高中学校自实施素养训练以来，同学社团得到迅猛进展，某校高一新生中的五名同学打算参与“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参与，每名同学至少参与一个社团且只能参与一个社团．且同学甲不参与“围棋苑”，则不同的参与方法的种数为( )
A．72 B．108
C．180 D．216
解析：设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，假如甲不参与“围棋苑”，有下列两种状况：
(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参与“围棋苑”，有C种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊支配到其他三个社团中，有CA种方法，故共有CCA种参与方法；
(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参与“围棋苑”，有C种方法，甲与丁、戊支配到其他三个社团中有A种方法，这时共有CA种参与方法；
综合(1)(2)，共有CCA＋CA＝180种参与方法．
答案：C
6．假如一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )
A．60 B．48
C．36 D．24
解析：长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12个，共36＋12＝48个，故选B.
答案：B
7．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为( )
A．34 B．43
C．12 D．以上都不对
解析：明显(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，确定A*B中的元素是由A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步乘法计数原理可知A*B中有3×4＝12个元素．故选C.
答案：C
8．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )
A．10种 B．20种
C．36种 D．52种
解析：分为两类：
①1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有C＝4种放球方法；
②1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有C＝6种放球方法．
∴共有C＋C＝10种不同的放球方法．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．(2022·西安模拟)有A、B两种类型的车床各一台， 现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，先从三名工人中选2名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有________种．
解析：若选甲、乙2人，则包括甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙2人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙2人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法．
∴共有2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．
答案：4
10．(2022·抚州模拟)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C所得的经过坐标原点的直线有________条(用数字表示)．
解析：由于直线过原点，所以C＝0，从1,2,3,5,7,11这6个数中任取2个作为A、B，两数的挨次不同，表示的直线不同，所以直线的条数为A＝30.
答案：30
4
11.数字1,2,3，…，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则全部填写空格的方法共有________种．
解析：必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法．对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的填法，由分步计数原理知共有22×3＝12种填法．
答案：12
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．设集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)是坐标平面上的点，a，b∈M.
(1)P可以表示多少个平面上的不同的点？
(2)P可以表示多少个其次象限内的点？
(3)P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？
解：(1)分两步，第一步确定横坐标有6种，其次步确定纵坐标有6种，经检验36个点均不相同，由分步乘法计数原理得N＝6×6＝36(个)．
(2)分两步，第一步确定横坐标有3种，其次步确定纵坐标有2种，依据分步乘法计数原理得N＝3×2＝6个．
(3)分两步，第一步确定横坐标有6种，其次步确定纵坐标有5种，依据分步乘法计数原理得N＝6×5＝30个．
13.
编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必需放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法有多少种？
解：依据A球所在位置分三类：
(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E有A＝6种不同的放法，则依据分步计数原理，此时有A＝6种不同的放法；
(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E有A＝6种不同的放法，则依据分步计数原理，此时有A＝6种不同的放法；
(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E有A种不同的放法，依据分步计数原理，此时有AA＝18种不同的放法．
综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．
14．用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？
1
3
2
4
解：可分步进行．
涂区域1，有5种颜色可选.
涂区域2，有4种颜色可选.
涂区域3，可先分类：若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种颜色可选．若区域3的颜色与2个不同，则区域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选．
所以共有5×4×(1×4＋3×3)＝260种涂色方法．
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