山西省2021届高三第三次四校联考数学(理)试卷-Word版含答案.docx

2021届高三班级第三次四校联考数学试题（理）命题：临汾一中 康杰中学 长治二中 忻州一中 （满分150分，考试时间120分）第卷（选择题 60分）一、选择题(51260分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1. 已知集合,则 A.B. C. D. 2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是 A. B. C. D.3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.4. 等比数列的前项和为，若， ，则 A.31 B. 36 C. 42 D.485. 设，其中实数满足，若的最大为，则的最小值为A. B. C. D.6. 有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习阅历沟通，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为A. B. C. D.7. 执行如图的程序框图，则输出的值为A. 2022B. 2 C. D.8. 若的开放式中含有常数项，则的最小值等于 A. B. C. D. 9. 已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.关于函数，下列说法正确的是A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称C. 函数是奇函数 D. 当时，函数的值域是10. 函数的图象大致为11. 在正三棱锥中，是的中点，且,底面边长,则正三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.12. 过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为M，延长交曲线于点N，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为 A. B. C. D.第卷（非选择题 90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13. 已知，则_.14. 设随机变量，若，则_.15. 函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是_.16. 设数列的前项和为，且，为等差数列，则 的通项公式_.三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分12分)在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知 （1）求证：成等差数列； （2）若 求.18.（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分)直三棱柱 中，分别是、 的中点，为棱上的点.（1）证明：; （2）是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为?若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由.20. (本小题满分12分)椭圆的上顶点为是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于1？假如存在，求出这两个定点的坐标；假如不存在，说明理由21. (本小题满分12分)函数，若曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）.（1）若在上存在极值，求实数的取值范围；（2）求证：当时，.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，假如多答，则按做的第一题记分作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑22(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲 如图所示,已知圆外有一点,作圆的切线,为切点,过的中点,作割线,交圆于、两点,连接并延长,交圆于点,连接交圆于点,若.（1）求证:;（2）求证:四边形是平行四边形.23(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆C的参数方程以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长24(本小题满分10分)选修45：不等式选讲设=. （1）求的解集;（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.2021届高三班级第三次四校联考理科数学参考答案一、选择题(每小题5分，共60分) 1-5： CABAA 6-10：ABCDD 11-12：BD二、填空题(每小题5分，共20分)13. 14. 15. 16. 三、解答题：17.解：（1）由正弦定理得：即 2分即 4分 即成等差数列。 6分（2） 8分又 10分由（1）得： 即 12分18.解：（1）设大事为“两手所取的球不同色”， 则 4分（2） 依题意，的可能取值为0,1,2左手所取的两球颜色相同的概率为 6分右手所取的两球颜色相同的概率为 7分 10分012所以的分布列为： 12分19. （1）证明： ， 又 面 又面 2分 以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 则, 设 ， 且,即： 5分 6分（2）假设存在,设面的法向量为 ， 则 即： 令 . 8分 由题可知面的法向量 9分 平面与平面 所成锐二面的余弦值为 即： 或 （舍） 11分 当点为中点时，满足要求. 12分20.解：（1），由题设可知，得 1分又点P在椭圆C上， 3分联立解得， 4分故所求椭圆的方程为 5分（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去y，整理得（）方程（）有且只有一个实根，又，所以得 8分假设存在满足题设，则由对任意的实数恒成立,所以， 解得，当直线的斜率不存在时，经检验符合题意.总上，存在两个定点，使它们到直线的距离之积等于1. 12分21.解：（1） 由已知 得 2分 当为增函数； 当时，为减函数。 是函数的极大值点 4分 又在上存在极值 即 故实数的取值范围是 5分（2） 即为 6分 令 则 再令 则 在上是增函数 在上是增函数 时， 故 9分令则 即上是减函数时， 11分所以， 即 12分22. 证明:(1)是圆的切线, 是圆的割线, 是的中点, ,又, , 即., , ,. 5分 (2),即, ,是圆的切线,即, 四边形PMCD是平行四边形. 10分23.解：（1）圆C的一般方程为，又所以圆C的极坐标方程为 5分（2）设，则由 解得 7分设，则由解得 9分所以 10分24.解： (1)由得：或或3分解得所以的解集为 5分 （2） 当且仅当时，取等号. 8分由不等式对任意实数恒成立，可得解得：或. 故实数的取值范围是 10分