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补偿练5 三角函数与三角恒等变换
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一、选择题
1．已知cos(＋α)＝，且α∈(，)，则tan α＝( )．
A. B．
C．－ D．±
解析 由于cos(＋α)＝，所以sin α＝－，明显α在第三象限，所以cos α＝－，故tan α＝.
答案 B
2．已知α是第四象限的角，若cos α＝，则tan 2α＝( )．
A. B．
C. D．
解析 由cos α＝，α在第四象限得tan α＝－，从而tan 2α＝＝＝.
答案 D
3．若函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到y＝f(x)的图象，则( )．
A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝sin 2x
C．f(x)＝－cos 2x D．f(x)＝－sin 2x
解析 y＝sin 2xy＝sin2
＝sin＝cos 2x.
答案 A
4．已知sin 2α＝，则cos2＝( )．
A．－ B．－
C. D．
解析 ∵cos2＝
＝，∴cos2＝.
答案 D
5．函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x图象的一条对称轴方程是( )．
A．x＝－ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析 f(x)＝2(sin 2x＋cos 2x)＝2sin，由2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，令k＝1，得x＝.
答案 D
6．将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，则g＝( )．
A. B．－1
C. D．2
解析 由于f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
其图象向右平移个单位后得到g(x)＝sin
的图象，
∴g＝sin＝sin ＝.
答案 A
7．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．
A．2，－
B．2，－
C．4，－
D．4，
解析 由图知T＝－(－)＝，T＝π，则ω＝＝2.留意到函数f(x)在x＝时取到最大值，则有2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，而－＜φ＜，故φ＝－.
答案 A
8．若sin＝，则cos＝( )．
A．－ B．－
C. D．
解析 由sin＝，得sin＝，即cos(＋α)＝，∴cos(＋2α)＝cos[2(＋α)]＝2cos2(＋α)－1＝2×()2－1＝－.
答案 A
9．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为π，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则( )．
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝
C．ω＝4，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
解析 由＝π，得ω＝2，由于将f(x)的图象向右平移个单位后得g(x)＝sin(2x－＋φ)的图象，又g(x)为偶函数，所以－＋φ＝kπ＋，(k∈Z)，又|φ|＜，取k＝－1，得φ＝.
答案 B
10．已知函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且f()＝1，则函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后所得图象的函数解析式为( )．
A．y＝2sin(πx＋) B．y＝sin(πx－)
C．y＝2sin(πx＋) D．y＝sin(πx－)
解析 由最小正周期为2，得＝2，则ω＝π，又f＝1，所以Asin＝1，A＝2，所以f(x)＝2sin πx，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝2sin＝2sin的图象．
答案 A
11．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)，且其图象关于直线x＝0对称，则( )．
A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在(0，)上为增函数
B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在(0，)上为减函数
C．y＝f(x)的最小正周期为，且在(0，)上为增函数
D．y＝f(x)的最小正周期为，且在(0，)上为减函数
解析 f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin，∵图象关于x＝0对称，∴＋φ＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ(k∈Z)，又∵|φ|＜，∴φ＝，f(x)＝2cos 2x.其最小正周期T＝＝π，且在上单调递减．
答案 B
12．关于函数f(x)＝2(sinx－cos x)cos x的四个结论：
P1：最大值为；
P2：把函数f(x)＝sin 2x－1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)＝2(sin x－cos x)cos x的图象；
P3：单调递增区间为(k∈Z)；
P4：图象的对称中心为(k∈Z)．其中正确的结论有( )．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 由于f(x)＝2sin xcos x－2cos2x
＝sin 2x－cos 2x－1＝sin－1.
所以最大值为－1，故P1错误．
将f(x)＝sin 2x－1的图象向右平移个单位后得到f(x)＝sin 2－1＝sin－1的图象，故P2错误．
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即增区间为(k∈Z)，故P3正确．由2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以函数的对称中心为，k∈Z，故P4正确．
答案 B
二、填空题
13．已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，2α∈[0,2π)，则tan α＝________.
解析 由三角函数定义可知
sin 2α＝，cos 2α＝－，∴tan 2α＝＝－.
又2α∈[0,2π)，∴2α＝，
∴α＝，∴tan α＝.
答案
14．函数y＝tan ωx(ω＞0)与直线y＝a相交于A，B两点，且|AB|最小值为π，则函数f(x)＝sin ωx－cos ωx的单调增区间是__________．
解析 由函数y＝tan ωx(ω＞0)的图象可知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f(x)＝2sin.由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
答案 [2kπ－，2kπ＋](k∈Z)
15．已知＝1，tan(β－α)＝－，则tan(β－2α)＝________.
解析 由＝＝2tan α＝1，
得tan α＝，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝
＝＝＝－1.
答案 －1
16．设函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则下列说法正确的是______．(填序号)
①f(x)的图象过点；
②f(x)在上是减函数；
③f(x)的一个对称中心是；
④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到函数y＝3sin ωx的图象．
解析 ∵周期为π，∴＝π⇒ω＝2，
∴f(x)＝3sin(2x＋φ)，f＝3sin，
则sin＝1或－1，
∵φ∈，
∴＋φ∈，∴＋φ＝⇒φ＝，
∴f(x)＝3sin.
①：令x＝0⇒f(x)＝，正确．
②：令2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z⇒kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.令k＝0⇒＜x＜，
即f(x)在上单调递减，而在上单调递增，错误．
③：令x＝⇒f(x)＝3sin π＝0，正确．
④：应平移个单位，错误．
答案 ①③
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