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2022届高三南京市六校联考调研测试
数 学 试 卷（Ⅰ）
2021.12
命题人 张 海、甘德顺、叶宝江 审核人 甘德顺、叶宝江
一、填空题（共14小题每小题5分共计70分．将正确答案填入答题纸的相应横线上）
1．设集合，集合，若，则 ▲ .
2．已知复数满足（为虚数单位），则的模为 ▲ .
3.已知为实数，直线，，则“”是“”的 ▲ 条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空）．
4.依据如图所示的伪代码，最终输出的的值
为 ▲ .
5.现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ▲ ．
6.若实数满足约束条件，则目标函数的最小值为 ▲ ．
7.已知等比数列的前项和为，若，则的值是 ▲ .
8．已知，与的夹角为，，则与的夹角为 ▲ ．
9.已知，则的值为 ▲ ．
10.设椭圆（）的左右焦点分别为，左准线为，为椭圆上的一点，于点，若四边形为平行四边形，则椭圆离心率的取值范围是
▲ .
11.若均为正实数，且，则的最小值是 ▲ ．
12. 在中，已知，，则面积的最大值是 ▲ .
13.已知圆，直线，为直线上一点，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围是 ▲ .
14.若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 ▲ ．
二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．（本小题满分14分）已知向量.
（1）当时，求的值；
（2）设函数，当时，求的值域.
16.（本小题满分14分）如图，在多面体中，四边形是菱形，相交于点，，，平面平面，，点为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求证：直线平面．
17.（本小题满分15分）如图，椭圆（）的离心率，椭圆的右焦点到右准线的距离为，椭圆的下顶点为.
（1）求椭圆的方程；
x
y
o
D
M
P
（2）若过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆相交于点.求证：直线经过确定点.
18.（本小题满分15分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱外形绿化区，其中是半径为1百米的扇形，．管理部门欲在该地从到修建小路：在上选一点（异于、两点），过点修建与平行的小路．
（1）设，试用表示修建的小路与线段及线段的总长度；
P
D
Q
C
N
B
A
M
（第18题）
（2）求的最小值．
19.（本题满分16分）已知数列的前项和为，且对一切正整数都有.
（1）求证：（）；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在实数，使不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。
20.（本小题满分16分）已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）若函数在点处的切线方程是，求实数及的值；
（2）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；
（3）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.
2022届高三南京市六校联考调研测试
数 学 试 卷（Ⅱ）（加试题）
21.【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A（选修4—1 ：几何证明选讲）（本小题满分10分）
第21—A题图
如图，是的一条切线，切点为，直线都是的割线，已知 求证：.
B.（选修4—2 ：矩阵与变换）（本小题满分10分）
已知矩阵，若矩阵对应的变换把直线变为直线，求直线的方程．
C.（选修4—4 ：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数，，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若圆上的点到直线的最大距离为，求的值.
D.（选修4—5 ：不等式选讲）（本小题满分10分）
已知实数满足求的最小值.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.（本小题满分10分）袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为. 现有甲、乙两人从袋中轮番摸取一枚棋子。甲先摸，乙后取，然后甲再取，……，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止. 每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的。用表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.
（1）求随机变量的概率分布列和数学期望；
（2）求甲取到白球的概率.
23.（本小题满分10分）设是定义在R上的函数，已知，且
.
（1）若，求；
（2）若，求.
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数学试卷（Ⅰ）参考答案及评分标准
1、1； 2、； 3、充分不必要； 4、55； 5、； 6、1； 7、； 8、；
9、； 10、； 11、； 12、； 13、； 14、.
15.解：（1）∵，，
∴，∴， ……………………………………3分
∴. ……………………………………6分
（2）方法1，………8分
. ……………………………10分
∵，∴，∴ ………………12分
∴，即函数的值域为. ……………………14分
方法2，
，
……………………………8分
. ……………………………10分
∵，∴，∴ ………………12分
∴，即函数的值域为. ………………14分
16.解：方法1，
为的中点
平面.
…………………………………3分
……………7分
（1）证明：四边形是菱形
又 点为的中点
又 平面
平面
（2）证明：
……………………10分
………………………………………9分
.
且.
分别为的中点且
……………………………………………11分
又 且
四边形是平行四边形
平面.
又
四边形是菱形，即
又
……………………………………………………………14分
方法,2，
证明：（1）∵四边形是菱形，，∴点是的中点，
∵点为的中点 ∴， ……………………3分
又∵平面，平面，∴直线平面．……………7分
（2）∵ ，点为的中点，∴.
∵平面平面，平面平面，
平面， ∴平面， ………………9分
∵平面，∴，
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形,
∴， ………………11分
∵，，∴， ∵四边形是菱形，∴，
∵，，，在平面内，
∴平面． ………………14分
17.解：（1）依题意知 ，则，……………………………………2分
又，且，∴，则，∴方程为.…………5分
（2）方法1，由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，
x
y
o
D
M
P
由得，…………7分
用去代，得，…………9分
∴，………………11分
∴：，…………12分
即，…………………………………………14分
∴直线经过定点．………………………………15分
方法2，由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则
：，
由得，……………………7分
用去代，得，………………………9分
作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，
则与相交于轴，可知定点在轴上，当时，，，
此时直线经过轴上的点，………………………10分
∵ ……………………………12分
……………………………………14分
∴，∴三点共线，即直线经过点，
故直线经过定点．…………………………………15分
18.解：（1）连接，过作垂足为，过作垂足为，
依题意知：， …………………2分
P
D
Q
C
N
B
A
M
（第18题）
若，在中，
若则
∴ …………………4分
（注：未争辩的范围扣1分.）
在中，
……………………………6分
总路径长 ……………………8分
……………………………10分
令，得，
方法1，列表验证如下：
微小值
依表格知：当时，最小，. …………………………14分
答：当时，总路径长的最小值为.…………………………………15分
方法2，当 时，，在内单调递减；
当 时，，在内单调递增.
∴ 当时，最小，. ……………………………14分
（注：此处若未强调函数的单调性，只是由就下结论，扣1分.）
答：当时，总路径长的最小值为. ………………………………15分
19.解：（1）证明：∵（）① ∴ （）②
由②①得（），
∴（）. ………………………………4分
（2）解：方法1，∵（）……③
∴（）， ……④
④—③，得（） ……………………………6分
从而 数列的奇数项依次成等差数列，且首项为，公差为4；
数列的偶数项也依次成等差数列，且首项为，公差为4.
在①中令得 ，又∵，∴
在③中令得 ，∴ …………………………………7分
∴当（）时，，； ……8分
∴当（）时，，；…………………9分
综上所述，（）. ……………………………………10分
方法2，由③式知，（）， ……………………………7分
记（），则（），
在①中令得 ，又∵，∴
从而，∴（） 即（）. …………………10分
（3）解：令（），则
且…………………12分
（或
………12分）
∴，∴单调递减，∴. ………………………13分
∴不等式对一切正整数n都成立等价于对一切正整数n都成立等价于，即……………………14分
∴，即，解之得
综上所述，存在实数适合题意，的取值范围是
……………………………………………………16分
20.解：（1） 由得，…………………………1分
∴，，. ……………………………………2分
∵函数在点处的切线方程是，
∴即 …………………………3分
（2）由得，∴，
∴.
方法1，（ⅰ）当即时，对一切恒成立，
∴在内单调递增，
∴在上的最小值是； …………………………………4分
（ⅱ）当即时，令，得，从而有
① 当即时，列表如下：
依表格知在上的最小值是； ………………………………5分
② 当即时，列表如下：
1
依表格知在上的最小值是；………………7分
③ 当即时，列表如下：
依表格知在上的最小值是. …………………………8分
综上所述：
当时，在上的最小值是；
当时，在上的最小值是；
当时，在上的最小值是. ……………………………9分
方法2，当时，． ……………………………………4分
① 当时，，且不是常数函数，所以在上单调递增，
因此在上的最小值是； …………………………………5分
② 当时，，且不是常数函数，所以在上单调递减，
因此在上的最小值是； ……………………………………6分
③ 当时，令，得，
且当时，，当时，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
于是在上的最小值是. ……………………8分
综上所述：
当时，在上的最小值是；
当时，在上的最小值是；
当时，在上的最小值是.……………………………9分
（3），，
由，∴，又.
若函数在区间内有零点，设x0为f(x)在区间内的一个零点，
则由可知，
在区间内不行能单调递增，也不行能单调递减．
则在区间内不行能恒为正，也不行能恒为负．
故在区间内存在零点. 同理在区间内存在零点.
故函数在区间内至少有三个单调区间，g(x)在区间内至少有两个零点．
……………………………………………10分
由（2）知当或时，函数即在区间内单调，
不行能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求.
……………………………………………11分
若，此时在区间内单调递减，在区间内单调递增．
因此，，
又，
令（），
则，令得，列表如下：
依表格知：当时，，
∴恒成立，……………………………………14分
于是，函数在区间内至少有三个单调区间即
.
综上所述：的取值范围为 ……………………………………………16分
2022届高三南京市六校联考调研测试
数学试卷（Ⅱ）参考答案及评分标准
第21—A题图
21A证明：∵为切线，为割线，∴，
又∵，∴．…………4分
∴，又∵，
∴∽，
∴，
又∵，
∴，
∴． ………………………………10分
21B解：∵，∴. ……………………………4分
在直线上任取一点，它是由上的点经矩阵所对应的变换所得，
则一方面，∵点在直线上，∴.……①
，即，∴， …………………………7分
∴……②
将②代入①得，即，
∴直线的方程为. ……………………………10分
21C解：圆的参数方程为为参数，，消去参数得
，所以圆心，半径为.…………3分
直线的极坐标方程为，化为一般方程为. ……………6分
圆心到直线的距离为，……8分
∵圆上的点到直线的最大距离为3，即，∴．
…………………………………10分
21D解：由柯西不等式得 ， ………………………5分
由于，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为． ………………………………10分
22.解：设袋中白球共有个，，则依题意知：，∴，
即 ，解之得（舍去）.………………………………………1分
（1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量的全部可能取值是1，2，3，4，5.
，，，
，.
……………………………………………………………5分
（注：此段4分的支配是每错1个扣1分，错到4个即不得分.）
随机变量的概率分布列为：
1
2
3
4
5
所以.…………………………………6分
（2）记大事“甲取到白球”，则大事包括以下三个互斥大事：
“甲第1次取球时取出白球”；
“甲第1次取球时取出白球”；
“甲第1次取球时取出白球”.
依题意知：，，，………………9分
（注：此段3分的支配是每错1个扣1分，错到3个即不得分.）
所以，甲取到白球的概率为
.
………………………………10分
23.解：（1）∵，所以， ………………………1分
∴.
∵无意义，∴，且，，. …………………………4分
（注：不写的取值范围不扣分.）
（2）∵，
其中.
∴（）. …………………………6分
又∵，
∴
.
……………………………………8分
.
即 且，，.
…………………………………………………………10分
（注：不写的取值范围不扣分.）
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