江苏省南京市六校联考2022届高三上学期12月调研测试-数学-Word版含答案.docx

2022届高三南京市六校联考调研测试数 学 试 卷（）2021.12 命题人 张 海、甘德顺、叶宝江 审核人 甘德顺、叶宝江一、填空题（共14小题每小题5分共计70分将正确答案填入答题纸的相应横线上）1设集合，集合，若，则 .2已知复数满足（为虚数单位），则的模为 . 3.已知为实数，直线，则“”是“”的 条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空）4.依据如图所示的伪代码，最终输出的的值为 .5.现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 6.若实数满足约束条件，则目标函数的最小值为 7.已知等比数列的前项和为，若，则的值是 .8已知，与的夹角为，则与的夹角为 9.已知，则的值为 10.设椭圆（）的左右焦点分别为，左准线为，为椭圆上的一点，于点，若四边形为平行四边形，则椭圆离心率的取值范围是 .11.若均为正实数，且，则的最小值是 12. 在中，已知，则面积的最大值是 .13.已知圆，直线，为直线上一点，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围是 .14.若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 二、解答题(本大题共6小题，共90分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15（本小题满分14分）已知向量.（1）当时，求的值；（2）设函数，当时，求的值域.16.（本小题满分14分）如图，在多面体中，四边形是菱形，相交于点，平面平面，点为的中点（1）求证：直线平面；（2）求证：直线平面17.（本小题满分15分）如图，椭圆（）的离心率，椭圆的右焦点到右准线的距离为，椭圆的下顶点为.（1）求椭圆的方程；xyoDMP（2）若过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆相交于点.求证：直线经过确定点.18.（本小题满分15分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱外形绿化区，其中是半径为1百米的扇形，管理部门欲在该地从到修建小路：在上选一点（异于、两点），过点修建与平行的小路（1）设，试用表示修建的小路与线段及线段的总长度；PDQCNBAM（第18题）（2）求的最小值19.（本题满分16分）已知数列的前项和为，且对一切正整数都有.（1）求证：（）；（2）求数列的通项公式；（3）是否存在实数，使不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。20.（本小题满分16分）已知函数，其中，为自然对数的底数（1）若函数在点处的切线方程是，求实数及的值；（2）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（3）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.2022届高三南京市六校联考调研测试数 学 试 卷（）（加试题）21.【选做题】本题包括、四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A（选修41 ：几何证明选讲）（本小题满分10分）第21A题图如图，是的一条切线，切点为，直线都是的割线，已知 求证：.B.（选修42 ：矩阵与变换）（本小题满分10分）已知矩阵，若矩阵对应的变换把直线变为直线，求直线的方程C.（选修44 ：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若圆上的点到直线的最大距离为，求的值.D.（选修45 ：不等式选讲）（本小题满分10分）已知实数满足求的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为. 现有甲、乙两人从袋中轮番摸取一枚棋子。甲先摸，乙后取，然后甲再取，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止. 每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的。用表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.（1）求随机变量的概率分布列和数学期望；（2）求甲取到白球的概率. 23.（本小题满分10分）设是定义在R上的函数，已知，且.（1）若，求；（2）若，求.2022届高三南京市六校联考调研测试数学试卷（）参考答案及评分标准1、1； 2、； 3、充分不必要； 4、55； 5、； 6、1； 7、； 8、； 9、； 10、； 11、； 12、； 13、； 14、.15.解：（1）， 3分. 6分（2）方法1，8分. 10分， 12分，即函数的值域为. 14分 方法2，8分. 10分， 12分，即函数的值域为. 14分16.解：方法1，为的中点平面.3分7分（1）证明：四边形是菱形又 点为的中点又 平面平面（2）证明：10分9分.且.分别为的中点且11分又 且 四边形是平行四边形平面.又 四边形是菱形，即又 14分方法,2，证明：（1）四边形是菱形，点是的中点，点为的中点 ， 3分又平面，平面，直线平面7分（2） ，点为的中点，.平面平面，平面平面，平面， 平面， 9分平面，四边形为平行四边形, ， 11分， 四边形是菱形， ，在平面内，平面 14分17.解：（1）依题意知 ，则，2分又，且，则，方程为.5分（2）方法1，由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，xyoDMP由得，7分用去代，得，9分，11分：，12分即，14分直线经过定点15分方法2，由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，由得，7分用去代，得，9分作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，则与相交于轴，可知定点在轴上，当时，此时直线经过轴上的点，10分 12分 14分，三点共线，即直线经过点，故直线经过定点15分18.解：（1）连接，过作垂足为，过作垂足为， 依题意知：， 2分PDQCNBAM（第18题）若，在中， 若则 4分（注：未争辩的范围扣1分.）在中， 6分总路径长 8分 10分令，得，方法1，列表验证如下：微小值依表格知：当时，最小，. 14分答：当时，总路径长的最小值为.15分方法2，当 时，在内单调递减；当 时，在内单调递增. 当时，最小，. 14分（注：此处若未强调函数的单调性，只是由就下结论，扣1分.）答：当时，总路径长的最小值为. 15分19.解：（1）证明：（） （）由得（），（）. 4分（2）解：方法1，（）（）， ，得（） 6分从而 数列的奇数项依次成等差数列，且首项为，公差为4；数列的偶数项也依次成等差数列，且首项为，公差为4.在中令得 ，又，在中令得 ， 7分当（）时，； 8分当（）时，；9分综上所述，（）. 10分方法2，由式知，（）， 7分记（），则（），在中令得 ，又，从而，（） 即（）. 10分（3）解：令（），则且12分（或 12分），单调递减，. 13分不等式对一切正整数n都成立等价于对一切正整数n都成立等价于，即14分，即，解之得 综上所述，存在实数适合题意，的取值范围是16分20.解：（1） 由得，1分，. 2分函数在点处的切线方程是，即 3分（2）由得，.方法1，（）当即时，对一切恒成立，在内单调递增， 在上的最小值是； 4分（）当即时，令，得，从而有 当即时，列表如下： 依表格知在上的最小值是； 5分 当即时，列表如下：1依表格知在上的最小值是；7分 当即时，列表如下：依表格知在上的最小值是. 8分综上所述：当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是. 9分方法2，当时， 4分 当时，且不是常数函数，所以在上单调递增，因此在上的最小值是； 5分 当时，且不是常数函数，所以在上单调递减，因此在上的最小值是； 6分 当时，令，得，且当时，当时，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，于是在上的最小值是. 8分综上所述：当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是.9分（3），由，又.若函数在区间内有零点，设x0为f(x)在区间内的一个零点，则由可知，在区间内不行能单调递增，也不行能单调递减则在区间内不行能恒为正，也不行能恒为负故在区间内存在零点. 同理在区间内存在零点.故函数在区间内至少有三个单调区间，g(x)在区间内至少有两个零点 10分 由（2）知当或时，函数即在区间内单调，不行能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求.11分若，此时在区间内单调递减，在区间内单调递增因此，又，令（），则，令得，列表如下：依表格知：当时，恒成立，14分于是，函数在区间内至少有三个单调区间即 .综上所述：的取值范围为 16分2022届高三南京市六校联考调研测试数学试卷（）参考答案及评分标准第21A题图21A证明：为切线，为割线，又，4分，又，又， 10分 21B解：，. 4分在直线上任取一点，它是由上的点经矩阵所对应的变换所得，则一方面，点在直线上，.，即， 7分 将代入得，即，直线的方程为. 10分21C解：圆的参数方程为为参数，消去参数得，所以圆心，半径为.3分直线的极坐标方程为，化为一般方程为. 6分圆心到直线的距离为，8分圆上的点到直线的最大距离为3，即，10分21D解：由柯西不等式得 ， 5分由于，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为 10分22.解：设袋中白球共有个，则依题意知：，即 ，解之得（舍去）.1分（1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量的全部可能取值是1，2，3，4，5.，. 5分（注：此段4分的支配是每错1个扣1分，错到4个即不得分.）随机变量的概率分布列为：12345所以.6分（2）记大事“甲取到白球”，则大事包括以下三个互斥大事： “甲第1次取球时取出白球”； “甲第1次取球时取出白球”； “甲第1次取球时取出白球”.依题意知：，9分（注：此段3分的支配是每错1个扣1分，错到3个即不得分.）所以，甲取到白球的概率为.10分23.解：（1），所以， 1分. 无意义，且，. 4分（注：不写的取值范围不扣分.） （2），其中.（）. 6分又，.8分.即 且，. 10分（注：不写的取值范围不扣分.）