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台州中学2022学年第一学期期中试题
高二 数学（理科）
命题人：季剑锋 审题人：王哲宝
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）
1．直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B ．平行 C．重合 D．异面
2．下列命题中正确的是 ( )
A．始终线与一平面平行,这个平面内有很多条直线与它平行．
B．平行于同始终线的两个平面平行．
C．与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面．
D．两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与该平面平行．
3．若直线过圆的圆心,则实数的值为（ ）
A．1 B. 1 C. 3 D. 3
4．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 主视图 左视图
俯视图
俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
5．点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
6．正方体的外接球与其内切球的体积之比为 （ ）
A. B. C. D.
7．已知坐标原点O在圆x2+y2-x+y+m=0外，则m的取值范围是 ( )
A．0<m< B．m< C． m≤ D． m>0
8．如图所示是正方体的平面开放图.在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是( )
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
9．过点（，0）引直线与曲线 交于A,B两点 ，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为 ( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题7小题，每小题3分，共21分）
11．点关于直线的对称点Q的坐标为
12．若A(3，-2)，B(-9，4)，C(x，0)三点共线，则x=
13．把直线x－y＋－1＝0绕点(1，)逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是
14．是锐二面角的内一点,于点到的距离为，则二面角 的平面角大小为
15．过点A(0，)，B(7,0)的直线l1与过(2,1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k的值为________．
16．如图，直三棱柱中，，，，，为线段上的一动点，则当最小时，△的面积为______。
17．如图，在三棱锥中，两两相互垂直，．点 ，分别在侧面、棱上运动，，为线段中点，当，运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于_________________．
三、解答题（本大题5小题，共49分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。）
18．（本小题满分8分） 直线l过点P(4,1)，
(1)若直线l过点Q(－1,6)，求直线l的方程；
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程．
19．（本小题满分9分）如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．
20．（本小题满分12分）已知圆，直线
(1) 求证：对，直线与圆总有两个不同的交点A、B；
(2) 求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；
(3) 若定点P（1，1）满足，求直线的方程。
21．（本小题满分10分）已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面相互垂直，//
（1）证明：
（2）设二面角的平面角为,求；
（3）M为AD的中点，在DE上是否存在一点P，使得MP//平面BCE？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由。
22（本小题满分10分） 已知圆及点.
（1）若为圆上任一点，求的最大值和最小值；
（2）已知点，直线与圆C交于点A、B.
当为何值时取到最小值。
台州中学2022学年第一学期期中试题
高二 数学（理科）
三、解答题（本大题5小题，共49分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。）
18. （本小题满分8分）
解：(1)直线l的方程为＝，化简，得x＋y－5＝0.(4分)
(2)设直线l的方程为y－1＝k(x－4)，l在y轴上的截距为1－4k，在x轴上的截距为4－，故1－4k＝2(4－)，得k＝或k＝－2，直线l的方程为y＝x或y＝－2x＋9.（8分）
19. （本小题满分9分）
证明：⑴设PD的中点为E，连结AE、NE，
由N为PD的中点知ENDC，
P
N
C
B
M
A
D
E
又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB
又M是AB的中点，∴ENAN，
∴AMNE是平行四边形
∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD
∴MN∥平面PAD （4分）
证明：⑵∵PA＝AD，∴AE⊥PD，
又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE， ∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，
∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，
又MN平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD. （9分）
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）解法一：圆的圆心为，半径为。
∴圆心C到直线的距离
∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；
O
B
M
A
C
方法二：∵直线过定点，而点在圆内∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；（4分）
（Ⅱ）当M与P不重合时，连结CM、CP，则，
∴
设，则，
化简得：
当M与P重合时，也满足上式。
故弦AB中点的轨迹方程是。（8分）
（Ⅲ）设，由，
∴，化简的………………①
又由消去得……………（*）
∴ ………………………………② （10分）
由①②解得，带入（*）式解得，
∴直线的方程为或。（12分）
21.（本小题满分10分）
(1)面ABCD面CDEF，且矩形CDEF中
在直角梯形ABCD中易得
（3分）
(2)ED//FC
又二面角的平面角
（7分）
（3）猜想。取ED,EC的四等分点P,Q，使得ED=4PD，EC=4QC，易得PQ=MN，PQ//MN，所以四边形PQNM为平行四边形。MP//平面BCE（10分）
22（本小题满分10分）
⊙
（1）⊙C与直线有公共点。
解得.
所以；.（4分）
（2）记将直线方程代入圆方程得：
由 得
（6分）
（8分）
时取到最小值。（10分）
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