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第3讲 简洁的规律联结词、全称量词与存在量词
[最新考纲]
1．了解规律联结词“或”“且”“非”的含义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
知 识 梳 理
1．简洁的规律联结词
(1)规律联结词
命题中的“且”、“或”、“非”叫做规律联结词．
(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假推断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“全部的”等．
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．
(3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示．
3．全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题．
(2)含有存在量词的命题叫特称命题．
4．命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.
辨 析 感 悟
1．规律联结词的理解与应用
(1)命题p∧q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题．(√)
(2)命题p∨q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题．(×)
2．对命题的否定形式的理解
(3)(2021·山西四校联考改编)“有些偶数能被3整除”的否定是“全部的偶数都不能被3整除”．(√)
(4)(2021·东北联考改编)命题p：∃n0∈N,2n0＞1 000，则綈p：∃n∈ N,2n≤1 000.(×)
(5)(2021·四川卷改编)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：∀x∈A,2x∈B，则綈p：∃x∉A,2x∉B.(×)
(6)已知命题p：若x＋y＞0，则x，y中至少有一个大于0，则綈p：若x＋y≤0，则x，y中至多有一个大于0.(×)
[感悟·提升]
1．一个区分 规律联结词“或”与日常生活中的“或”是有区分的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者仅表示“或此、或彼”两种情形．有的含有“且”“或”“非”联结词的命题，从字面上看不肯定有“且”“或”“非”等字样，这就需要我们把握一些词语、符号或式子与规律联结词“且”“或”“非”的关系．如“并且”、“綉”的含义为“且”；“或者”、“≤”的含义为“或”；“不是”、“∉”的含义为“非”．
2．两个防范 一是混淆命题的否定与否命题的概念导致失误，綈p指的是命题的否定，只需否定结论．如(5)、(6)；二是否定时，有关的否定词否定不当，如(6).
同学用书第7页
考点一 含有规律联结词命题的真假推断
【例1】 (1)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称．则下列推断正确的是( )．
A．p为真 B．綈q为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
(2)(2021·湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
解析 (1)函数y＝sin 2x的最小正周期为＝π，故命题p为假命题；x＝不是y＝cos x的对称轴，命题q为假命题，故p∧q为假．故选C.(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种状况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．选A.
答案 (1)C (2)A
规律方法 若要推断一个含有规律联结词的命题的真假，需先推断构成这个命题的每个简洁命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相对，做出推断即可．
【训练1】 若命题p：关于x的不等式ax＋b＞0的解集是{x|x＞－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集是{x|a＜x＜b}，则在命题“p∧q”、“p∨q”、“綈p”、“綈q”中，是真命题的有________．
解析 依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p∧q”为假、“p∨q”为假、“綈p”为真、“綈q”为真．
答案 綈p，綈q
考点二 含有一个量词的命题否定
【例2】 写出下列命题的否定，并推断其真假：
(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：全部的正方形都是矩形；
(3)r：∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
(4)s：至少有一个实数x0，使x＋1＝0.
解 (1)綈p：∃x0∈R，x－x0＋＜0，假命题．
(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题．
(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．
规律方法 对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没赐予否定．有些命题中的量词不明显，应留意挖掘其隐含的量词．
【训练2】 (1)(2021·江门、佛山模拟)已知命题p：∃x0＞1，x－1＞0，那么綈p是( )．
A．∀x＞1，x2－1＞0 B．∀x＞1，x2－1≤0
C．∃x0＞1，x－1≤0 D．∃x0≤1，x－1≤0
(2)命题：“对任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．
解析 (1)特称命题的否定为全称命题，所以綈p：∀x＞1，x2－1≤0，故选B.
(2)将“任意”改为“存在”，“有实根”改为“无实根”，所以原命题的否定为“存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0无实根”．
答案 (1)B (2)存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0无实根
考点三 含有量词的命题的真假推断
【例3】 下列四个命题
p1：∃x0∈(0，＋∞)，＜；
p2：∃x0∈(0,1)，x0＞x0；
p3：∀x∈(0，＋∞)，＞x；
p4：∀x∈，＜x.
其中真命题是( )．
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解析 依据幂函数的性质，对∀x∈(0，＋∞)，＞，故命题p1是假命题；由于x－x＝－＝，故对∀x∈(0,1)，x＞x，所以∃x0∈(0,1)，x0＞x0，命题p2是真命题；当x∈时，＜1，x＞1，故＞x不成立，命题p3是假命题；∀x∈，＜1，x＞1，故＜x，命题p4是真命题．
答案 D
同学用书第8页
规律方法 对于特称命题的推断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可推断该命题成立，对于全称命题的推断，必需对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可推断该命题不成立.
【训练3】 (2021·开封二模)下列命题中的真命题是( )．
A．∃x∈R，使得sin x＋cos x＝
B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1
C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x
D．∀x∈(0，π)，sin x>cos x
解析 由于sin x＋cos x＝sin≤<，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；由于x∈时有sin x<cos x，故D错误．所以选B.
答案 B
1．规律联结词与集合的关系
“或、且、非”三个规律联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，经常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
2．正确区分命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p”，只是否定命题p的结论．
命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真．
答题模板1——借助规律联结词求解参数范围问题
【典例】 (12分)已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立．若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a的取值范围．
[规范解答] ∵函数y＝ax在R上单调递增，∴p：a＞1.
不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立，且a＞0，
∴a2－4a＜0，解得0＜a＜4，∴q：0＜a＜4. (5分)
∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p，q中必有一真一假． (7分)
①当p真，q假时，{a|a＞1}∩{a|a≥4}＝{a|a≥4}． (9分)
②当p假，q真时，{a|0＜a≤1}∩{a|0＜a＜4}＝{a|0＜a≤1}． (11分)
故a的取值范围是{a|0＜a≤1，或a≥4}． (12分)
[反思感悟] 解决此类问题的关键是精确 地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．
答题模板 第一步：求命题p，q对应的参数的范围．
其次步：依据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p真q假”或“p假q真”．
第三步：依据新命题的真假，确定参数的范围．
第四步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．
【自主体验】
(2022·锦州月考)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
解 设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，
故Δ＝4a2－16＜0，∴－2＜a＜2.
又∵函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，
∴3－2a＞1，∴a＜1.
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
(1)若p真q假，则
∴1≤a＜2；
(2)若p假q真，则
∴a≤－2.
综上可知，所求实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[1,2).
对应同学用书P223
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．命题“∃x0∈∁RQ，x∈Q”的否定是( )．
A．∃x0∉∁RQ，x∈Q B．∃x0∈∁RQ，x∉Q
C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q
解析 依据特称命题的否定为全称命题知，选D.
答案 D
2．(2022·合肥质检)已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使＜0.下列选项中为真命题的是( )．
A．綈p B．q C．綈p∨q D．綈q∧p
解析 依题意，命题p是真命题，命题q是假命题，因此綈p是假命题，綈q是真命题；则綈q∧p是真命题，綈p∨q是假命题，故选D.
答案 D
3．下列命题中，真命题是( )．
A．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是偶函数
B．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是奇函数
C．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析 由函数奇偶性概念知，当m0＝0时，f(x)＝x2为偶函数，故选A.
答案 A
4．下列命题中的假命题是( )．
A．∃x0∈R，lg x0＝0
B．∃x0∈R，tan x0＝
C．∀x∈R，x3＞0
D．∀x∈，tan x＜sin x
解析 当x＝1时，lg x＝0，故命题“∃x0∈R，lg x0＝0”是真命题；当x＝时，tan x＝，故命题“∃x0∈R，tan x0＝”是真命题；由于x＝－1时，x3＜0，故命题“∀x∈R，x3＞0”是假命题；当x∈时，tan x＜0＜sin x，故“∀x∈，tan x＜sin x”是真命题．
答案 C
5．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )．
A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4
解析 命题p1是真命题，p2是假命题，故q1为真，q2为假，q3为假，q4为真．
答案 C
二、填空题
6．命题：“∀x∈R，ex≤x”的否定是________．
答案 ∃x0∈R，ex0＞x0
7．已知命题p：x2＋3x－3＞0；命题q：＞1，若“綈q且p”为真，则x的取值范围是________．
解析 由于“綈q且p”为真，即q假p真，而q为真命题时，＜0，即2＜x＜3，所以q假时有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，由得x≥3或1＜x≤2或x＜－3，
所以x的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．
答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)
8．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 当a＝0时，不等式明显成立；当a≠0时，由题意知得－8≤a＜0.综上，－8≤a≤0.
答案 [－8,0]
三、解答题
9．分别指出“p∨q”、“p∧q”、“綈p”的真假．
(1)p：梯形有一组对边平行；q：梯形有两组对边相等．
(2)p：1是方程x2－4x＋3＝0的解；q：3是方程x2－4x＋3＝0的解．
(3)p：不等式x2－2x＋1＞0的解集为R；q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.
解 (1)p真q假，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为假．
(2)p真q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真，“綈p”为假．
(3)p假q假，∴“p∨q”为假，“p∧q”为假，“綈p”为真．
10．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c的取值范围．
解 ∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0＜c＜1.
即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴綈p：c＞1.
又∵f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，
∴c≤.
即q：0＜c≤，∵c＞0且c≠1，∴綈q：c＞且c≠1.
又∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q一真一假．
①当p真， q假时，
{c|0＜c＜1}∩＝.
②当p假，q真时，{c|c＞1}∩＝∅.
综上所述，实数c的取值范围是.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2022·湖南五市十校联考)下列命题中是假命题的是( )．
A．∃α ，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β
B．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
C．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．∀a＞0，函数f(x)＝ln2 x＋ln x－a有零点
解析 对于A，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B，当φ＝时，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos 2x为偶函数；对于C，当m＝2时，f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3＝x－1＝，满足条件；对于D，令ln x＝t，∀a＞0，对于方程t2＋t－a＝0，Δ＝1－4(－a)＞0，方程恒有解，故满足条件．综上可知，选B.
答案 B
2．(2021·衡水二模)已知命题p：“∃x0∈R，使得x＋2ax0＋1＜0成立”为真命题，则实数a满足( )．
A．[－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析 “∃x0∈R，x＋2ax0＋1＜0”是真命题，即不等式x2＋2ax＋1＜0有解，∴Δ＝(2a)2－4＞0，得a2＞1，即a＞1或a＜－1.
答案 B
二、填空题
3．(2022·宿州检测)给出如下四个命题：
①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；
②命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤ 2b－1”；
③“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x0∈R，x＋1≤1”；
④在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件．
其中不正确的命题的序号是________．
解析 若“p∧q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，所以①不正确；②正确；“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x0∈R，x＋1＜1”，所以③不正确；在△ABC中，若A＞B，则a＞b，依据正弦定理可得sin A＞sin B，所以④正确．故不正确的命题有①③.
答案 ①③
三、解答题
4．已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．
解 若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，则解得m＞2，即命题p：m＞2.
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，
解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3.
因“p或q”为真，所以p，q至少有一个为真，
又“p且q”为假，所以命题p，q至少有一个为假，
因此，命题p，q应一真一假，即命题p为真、命题q为假或命题p为假、命题q为真．
∴或
解得：m≥3或1＜m≤2，
即实数m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．
基础回扣练——集合与常用规律用语 (对应同学用书P225)
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．(2022·深圳二次调研)已知集合A＝{0,1}，则满足条件A∪B＝{2,0,1,3}的集合B共有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 由题知B集合必需含有元素2,3，可以是{2,3}，{2,1,3}，{2,0,3}，{2,0,1,3}，共4个，故选D.
答案 D
2．(2022·济南4月模拟)已知集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{x|log2x＜2}，则A∩B＝( )．
A．(－1,3) B．(0,4) C．(0,3) D．(－1,4)
解析 将两集合分别化简得A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|0＜x＜4}，故结合数轴得A∩B＝{x|－1＜x＜3}∩{x|0＜x＜4}＝{x|0＜x＜3}．
答案 C
3．(2022·滁州模拟)定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的全部元素之和是( )．
A．0 B．2 C．3 D．6
解析 ∵z＝xy，x∈A，y∈B，且A＝{1,2}, B＝{0,2}，∴z的取值有：1×0＝0；1×2＝2；2×0＝0；2×2＝4.故A*B＝{0,2,4}．∴集合A*B的全部元素之和为0＋2＋4＝6.
答案 D
4．(2021·陕西五校质检)已知两个非空集合A＝{x|x(x－3)＜4}，B＝{x|≤a}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )．
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．[0,2) D．(－∞，2)
解析 解不等式x(x－3)＜4，得－1＜x＜4，所以A＝{x|－1＜x＜4}；又B是非空集合，所以a≥0，B＝{x|0≤x≤a2}．而A∩B＝B⇔B⊆A，借助数轴可知a2＜4，解得0≤a＜2，故选C.
答案 C
5．(2022·厦门质检)若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0＜x＜5，x∈R}，则下列论断正确的是( )．
A．x∈P是x∈Q的充分不必要条件
B．x∈P是x∈Q的必要不充分条件
C．x∈P是x∈Q 的充分必要条件
D．x∈P是x∈Q的既不充分也不必要条件
解析 P为Q的真子集，故P中元素肯定在Q中，反之不成立．故选A.
答案 A
6．(2021·湖南卷)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 当1＜x＜2时，必有x＜2；而x＜2时，如x＝0，推不出1＜x＜2，所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件．
答案 A
7．(2022·长沙模考(二))下列命题错误的是( )．
A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
B．对命题p：任意x∈R，均有x2＋x＋1＜0，则綈p为：存在x∈R，使得x2＋x＋1≥0
C．“三个数a，b，c成等比数列”是“b＝”的充分不必要条件
D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件
解析 对于A，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，因此选项A正确．对于B，对命题p：任意x∈R，均有x2＋x＋1＜0，则綈p为：存在x∈R，使得x2＋x＋1≥0，因此选项B正确．对于C，若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，当b＜0时，b＝－；若b＝，有可能a＝0，b＝0，c＝0，则a，b，c不成等比数列，因此“a，b，c成等比数列”是“b＝”的既不充分也不必要条件．对于D，留意到由x＞2得x2－3x＋2＝(x－1)·(x－2)＞0；反过来，由x2－3x＋2＞0不能得知x＞2，如取x＝0时，x2－3x＋2＞0，但此时0＜2，因此选项D正确．故选C.
答案 C
8．(2021·深圳调研)下列命题为真命题的是( )．
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件
C．命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否命题为“若x＜－1，则x2－2x－3≤0”
D．已知命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1＜0，则綈p：∀x∈R，使得x2＋x－1＞0
解析 对于A，“p真q假”时，p∨q为真命题，但p∧q为假命题，故A错；对于C，否命题应为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”，故C错；对于D，綈p应为“∀x∈R，使得x2＋x－1≥0”，所以D错；故选B.
答案 B
9．(2021·太原检测)已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是( )．
A．(2＋，＋∞) B．(－∞，2＋]
C．[2，＋∞) D．[6，＋∞)
解析 ≤0⇒0＜x≤1⇒1＜2x≤2，由题意知，22＋2－m≤0，即m≥6，故选D.
答案 D
10．已知数列{an}是等比数列，命题p：“若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 若已知a1＜a2＜a3，则设数列{an}的公比为q，有a1＜a1q＜a1q2.当a1＞0时，解得q＞1，此时数列{an}是递增数列；当a1＜0时，解得0＜q＜1，此时数列{an}也是递增数列．反之，若数列{an}是递增数列，明显有a1＜a2＜a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题和命题p是等价命题，命题p的否命题和命题p的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p的否命题和逆否命题都是真命题，故选D.
答案 D
二、填空题
11．(2022·金华其次次统练)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若∁I(M∩N)＝∁IN，则M∪N＝________.
解析 由Venn图可知N⊆M，∴M∪N＝M.
答案 M
12．已知集合A＝{0,2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．
解析 由题意知a2＝4，所以a＝±2.
答案 ±2
13．已知f(x)＝ln(1＋x)的定义域为集合M，g(x)＝2x＋1的值域为集合N，则M∩N＝________.
解析 由对数与指数函数的学问，得M＝(－1，＋∞)，N＝(1，＋∞)，故M∩N＝(1，＋∞)．
答案 (1，＋∞)
14．已知命题p：“∃x0∈(0，＋∞)，x0＞”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为________(填“真”或“假”)．
解析 全称命题的否定为特称命题，所以命题q为：∀x∈(0，＋∞)，x≤.
答案 ∀x∈(0，＋∞)，x≤ 假
15．(2021·海口模拟)若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0是真命题，
∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，
∴a－1＞2或a－1＜－2，
∴a＞3或a＜－1.
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
16．(2021·昆明质检)下面有三个命题：
①关于x的方程mx2＋mx＋1＝0(m∈R)的解集恰有一个元素的充要条件是m＝0或m＝4；
②∃m0∈R，使函数f(x)＝m0x2＋x是奇函数；
③命题“x，y是实数，若x＋y≠2，则x≠1或y≠1”是真命题．
其中真命题的序号是________．
解析 ①中，当m＝0时，原方程无解，故①是假命题；②中，当m＝0时，f(x)＝x明显是奇函数，故②是真命题；③中，命题的逆否命题“x，y是实数，若x＝1且y＝1，则x＋y＝2”为真命题，故原命题为真命题，因此③为真命题．
答案 ②③
三、解答题
17．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R}．
(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；
(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
解 A＝{x|－1≤x≤3}，
B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)∵A∩B＝[1,3]，∴得m＝3.
(2)∁RB＝{x|x＜m－2，或x＞m＋2}．
∵A⊆∁RB，∴m－2＞3或m＋2＜－1.
∴m＞5或m＜－3.
故实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
18．已知命题p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，假如p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
解 由关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1；
由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋a＞0的解集为R，则解得a＞.
由于p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，当p假，q真时，由⇒a＞1；
当p真，q假时，由⇒0＜a≤.
综上，知实数a的取值范围是∪(1，＋∞).
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