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课时提升作业(三十二)
一、选择题
1.已知等比数列{an}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a2等于( )
(A)8 (B)6 (C)-8 (D)-6
2.等比数列{an}中，若log2(a2a98)=4，则a40a60等于( )
(A)－16 (B)10 (C)16 (D)256
3.在正项等比数列{an}中，a1,a19分别是方程x2-10x+16=0的两根，则a8·a10·a12等于( )
(A)16 (B)32 (C)64 (D)256
4.(2021·南昌模拟)数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为( )
(A) (B)4 (C)2 (D)
5.(2021·沈阳模拟)已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*)且a2+a4+a6=9，则的值是( )
(A)-5 (B)- (C)5 (D)
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2 011=3S2 010+2 012，a2 010=3S2 009+2 012，则公比q=( )
(A)4 (B)1或4
(C)2 (D)1或2
7.(2021·吉安模拟)已知是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{an}的第100项等于( )
(A)25 050 (B)24 950 (C)2100 (D)299
8.(2021·汉中模拟)在等比数列{an}中，a6与a7的等差中项等于48，a4a5a6a7a8a9a10=1286.假如设数列{an}的前n项和为Sn，那么Sn=( )
(A)5n-4 (B)4n-3
(C)3n-2 (D)2n-1
二、填空题
9.(2022·广东高考)若等比数列{an}满足则=________.
10.(2021·莆田模拟)设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2,且a1,a3,a6成等比数列，则a5的值为______.
11.数列的前n项和为________.
12.(力气挑战题)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=2Sn+n+1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an=___________.
三、解答题
13.(2021·漳州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=2-an.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
14.(力气挑战题)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且，
(1)求{an}的通项公式.
(2)设，求数列{bn}的前n项和Tn.
15.(力气挑战题)设一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用an表示an+1.
(2)求证:数列{an-}是等比数列.
(3)当a1=时，求数列{an}的通项公式.
答案解析
1.【解析】选A.S4=60,q=2⇒ =60⇒ a1=4，
∴a2=a1q=4×2=8.
2.【解析】选C.a40a60=a2a98，依据log2(a2a98)=4即可求解.依据已知a2a98=24=16，所以a40a60＝16.
3.【解析】选C.依据根与系数的关系得a1a19=16，由此得a10=4，a8a12=16，故a8·a10·a12=64.
4.【解析】选C.设{an}的公差为d,则(a1+2d)2=a1(a1+6d),即a1=2d,所以q=.
5.【思路点拨】依据数列满足log3an+1=log3an+1(n∈N*)且a2+a4+a6=9可以确定数列是公比为3的等比数列，再依据等比数列的通项公式即可通过a2+a4+a6=9求出a5+a7+a9的值.
【解析】选A.由log3an+1=log3an+1(n∈N*)，得an+1=3an，又由于an＞0,所以数列{an}是公比为3的等比数列，a5+a7+a9=(a2+a4+a6)×33=35，所以
6.【解析】选A.由a2 011=3S2 010+2 012，a2 010=3S2 009+2 012两式相减得a2 011-a2 010=
3a2 010，即q=4.
7.【解析】选B.假设a0=1,数列{}的通项公式是所以a100=·…·=20+1+…+99=24 950.
8.【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,由a6与a7的等差中项等于48，得a6+a7=96,即a1q5(1+q)=96. ①
由等比数列的性质，得a4a10=a5a9=a6a8=.
由于a4a5a6a7a8a9a10=1286,
则=1286=(26)7,即a1q6=26. ②
由①②解得a1=1,q=2,
∴故选D.
9.【思路点拨】本题考查了等比数列的性质：已知m,n,p∈N*，若m+n=2p,则.
【解析】∵∴，
∴.
答案:
10.【解析】设等差数列{an}的公差为d,则(a1+2d)2
=a1(a1+5d),即(2+2d)2=2(2+5d),
解得或d=0(舍去),∴a5=a1+4d=2+4×=4.
答案：4
11.【解析】设所求的前n项和为Sn,则
答案:
12.【解析】∵Sn+1=2Sn+n+1，当n≥2时Sn=2Sn-1+n,
两式相减得：an+1=2an+1，
∴an+1+1=2(an+1)，即=2.
又S2=2S1+1+1,a1=S1＝1，
∴a2=3,∴=2，
∴{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an+1=2n即an=2n-1(n∈N*).
答案:2n-1
【方法技巧】含Sn，an问题的求解策略
当已知含有Sn+1,Sn之间的等式时，或者含有Sn,an的混合关系的等式时，可以接受降级角标或者升级角标的方法再得出一个等式，两个等式相减就把问题转化为数列的通项之间的递推关系式.
13.【解析】(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2-an)-(2-an-1)=an-1-an,
∴2an=an-1,a1=1,
∴数列{an}是等比数列，其首项为1，公比为
∴an=
(2)Sn=2-an=
∴Tn=
=
=
14.【思路点拨】(1)设出公比依据条件列出关于a1与q的方程组求得a1与q，即可求得数列的通项公式.
(2)由(1)中求得数列的通项公式，可求出{bn}的通项公式，由其通项公式可知分开求和即可.
【解析】(1)设公比为q，则an=a1qn-1.由已知得
化简得
又a1>0，故q=2,a1=1，所以an=2n-1.
(2)由(1)得
=.
所以
15.【解析】(1)∵一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,
由根与系数的关系易得
∵6α-2αβ+6β=3,∴=3,
即.
(2)∵,
∴,
当≠0时, ,
当,即时，
此时一元二次方程为,
即2x2-2x+3=0，
∵Δ=4-24＜0，
∴不合题意，即数列{}是等比数列.
(3)由(2)知:数列{}是以为首项,公比为的等比数列,
∴,
即,
∴数列{an}的通项公式是.
【变式备选】定义：若数列{An}满足An+1=，则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中，a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=2x2+2x的图象上，其中n为正整数.
(1)证明：数列{2an+1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2an+1)}为等比数列.
(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1)，求数列{an}的通项公式及Tn关于n的表达式.
【解析】(1)由条件得：an+1=+2an，
∴2an+1+1=+4an+1=(2an+1)2，
∴{2an+1}是“平方递推数列”.
∵lg(2an+1+1)=2lg(2an+1),
∴,
∴{lg(2an+1)}为等比数列.
(2)∵lg(2a1+1)=lg5,
∴lg(2an+1)=lg5·2n-1,
∴2an+1=,∴.
∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)=,
∴Tn=.
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