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第3讲 随机大事的概率
一、选择题
1．把12人平均分成两组，再从每组里任意指定正、副组长各一人，其中甲被指定为正组长的概率是( )
A. B. C. D.
解析 甲所在的小组有6人，则甲被指定正组长的概率为.
答案 B
2．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为( )
A. B. C. D.
解析 加工出来的零件的次品的对立大事为零件是正品，由对立大事公式得
加工出来的零件的次品率.
答案 C
3．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球．不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，其次次也取到新球的概率为 ( )．
A. B. C. D.
解析 第一次结果确定，盒中仅有9个乒乓球，5个新球4个旧球，所以其次次也取到新球的概率为.
答案 C
4．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次毁灭正面”为大事A，“其次次毁灭正面”为大事B，则P(B|A)等于 ( )．
A. B. C. D.
解析 法一 P(B|A)＝＝＝.
法二 A包括的基本大事为{正，正}，{正，反}，AB包括的基本大事为{正，正}，因此P(B|A)＝.
答案 A
5．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是( )．
A. B. C. D.
解析 接受枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本大事为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本大事有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为.
答案 B
6．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 ( )．
A. B. C. D.
解析 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本大事；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本大事，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1－＝.
答案 D
二、填空题
7．对飞机连续射击两次，每次放射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的大事是________，互为对立大事的是________．
解析 设I为对飞机连续射击两次所发生的全部状况，由于A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥大事，而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立大事．
答案 A与B、A与C、B与C、B与D B与D
8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是_______．
解析 要使△ABC有两个解，需满足的条件是由于A＝30°，所以满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种状况，所以满足条件的 三角形有两个解的概率是＝.
答案
9．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星精确 预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报精确 的概率为________．
解析 由对立大事的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报精确 的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.
答案 0.95
10．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，其次次再次取到不合格品的概率为________．
解析 设A＝{第一次取到不合格品}，B＝{其次次取到不合格品}，则P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝＝
答案
三、解答题
11．甲、乙二人进行一次围棋竞赛，商定先胜3局者获得这次竞赛的成功，竞赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局竞赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求再赛2局结束这次竞赛的概率；
(2)求甲获得这次竞赛成功的概率．
解 记Ai表示大事：第i局甲获胜，i＝3,4,5，Bj表示大事：第j局乙获胜，j＝3,4.
(1)记A表示大事：再赛2局结束竞赛．
A＝A3A4＋B3B4.
由于各局竞赛结果相互独立，故
P(A)＝P(A3A4＋B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)
＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
(2)记B表示大事：甲获得这次竞赛的成功．
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次竞赛的成功当且仅当在后面的竞赛中，甲先胜2局，从而
B＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5，
由于各局竞赛结果相互独立，故
P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)
＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.
12．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，且只乘一种交通工具去开会．
(1)求他乘火车或乘飞机去开会的概率；
(2)求他不乘轮船去开会的概率；
(3)假如他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去开会的？
解 (1)记“他乘火车去开会”为大事A1，“他乘轮船去开会”为大事A2，“他乘汽车去开会”为大事A3，“他乘飞机去开会”为大事A4，这四个大事不行能同时发生，故它们是彼此互斥的．故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)设他不乘轮船去开会的概率为P，
则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8.
(3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5,1－(0.3＋0.2)＝0.5,1－(0.1＋0.4)＝0.5，
故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会．
13．黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比/%
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能相互输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解 (1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的大事分别记为A′，B′，C′，D′，它们是彼此互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
由于B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为大事B′＋D′.依据互斥大事的概率加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)法一 由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为大事A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
法二 由于大事“其血可以输给B型血的人”与大事“其血不能输给B型血的人”是对立大事，故由对立大事的概率公式，有P(])＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.
即：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.
14．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．
解 (1)Ai表示大事“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示大事“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2.
用频率估量相应的概率可得
P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P(B2)＞P(B1)，∴乙应选择L2.
(2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由题意知，A，B独立，
∴P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.4×0.1＝0.04，
P(X＝1)＝P(B＋A)＝P()P(B)＋P(A)P()
＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，
P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
0.04
0.42
0.54
∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.
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