资源描述
4 立体几何(文)
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2021·山东潍坊市质检)已知三条不同的直线m，n，l和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是( )
A．若m∥n，n⊂α，则m∥α
B．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α
C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
D．若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β
[答案] D
[解析] 若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故A不正确；若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n与α相交或n∥α或n⊂α，故B不正确；若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则由线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理知α⊥β，故D正确．
2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为( )
A．6＋ B．6＋2
C．8＋ D．8＋2
[答案] D
[解析] 由三视图可知该几何体为一横放的直三棱柱，其中底面正对观看者，为始终角三角形，两直角边长分别为1,2，棱柱的高为2，故其表面积S＝(2＋1＋)×2＋2×1＝8＋2.
3．如图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是( )
A．2π B．4π
C．6π D．8π
[答案] D
[解析] 由图可知该几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V＝V圆柱－V圆锥＝π×22×3－π×22×3＝8π，故选D．
4.在正四周体(棱长都相等的四周体)A－BCD中，棱长为4，M是BC的中点，点P在线段AM上运动(P不与A、M重合)，过点P作直线l⊥平面ABC，l与平面BCD交于点Q，给出下列命题：
①BC⊥平面AMD；
②Q点确定在直线DM上；
③VC－AMD＝4.
其中正确的是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
[答案] A
[解析] 由BC⊥AM，BC⊥MD，可得BC⊥平面AMD，即①正确；由BC⊥平面AMD可得平面AMD⊥平面ABC，则若过P作直线l⊥平面ABC，l与平面BCD交于点Q，Q点确定在直线DM上，即②正确；由VC－AMD＝VC－ABD＝××43＝，即③不正确，综上可得正确的命题序号为①②，故应选A.
5．(2021·淄博市质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B．
C. D．πa3
[答案] A
[解析] 由三视图可知该几何体为一个圆锥的，其中圆锥的底面圆的半径为a，高为2a，所以该几何体的体积V＝(×πa2×2a)×＝.故选A.
6．已知α、β、γ是三个不重合的平面，m、n是不重合的直线，下列推断正确的是( )
A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．若α⊥β，l∥β，则l∥α
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
[答案] D
[解析] A错，两平面还可垂直；B错，还可能有l⊂α；C错，两直线m，n的位置关系不确定；D正确，垂直于同一平面的两直线相互平行．
7．(2021·临沂八校质检)若四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，N为PB的中点，则三棱锥P－ANC与四棱锥P－ABCD的体积之比为( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 本题考查空间几何体的体积．四棱锥P－ABCD的体积易求，关键是把三棱锥P－ANC的体积用四棱锥P－ABCD的高和底面积表示出来．
设正方形ABCD的面积为S，PD＝h，则所求体积之比为＝＝＝.
8.如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )
A．动点A′在平面ABC上的投影在线段AF上
B．恒有平面A′GF⊥平面BCED
C．三棱锥A′－FED的体积有最大值
D．异面直线A′E与BD不行能垂直
[答案] D
[解析] 由题意，DE⊥平面AGA′，
∴A、B、C正确，故选D．
9．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为( )
A.a B．a
C.a D．a
[答案] A
[解析] 设点C到平面A1DM的距离为h，则由已知得DM＝A1M＝＝a，A1D＝a，S△A1DM＝×a×＝a2，连接CM，S△CDM＝a2，由VC－A1DM＝VA1－CDM，得S△A1DM·h＝S△CDM·a，即a2·h＝a2·a，得h＝a，所以点C到平面A1DM的距离为a，选A.
10．(2021·河南六市联考)一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] 由三视图知该几何体是如图所示的四棱锥P－ABCD，
其中底面ABCD是直角梯形，侧面ABP是Rt△，
且侧面PAB⊥底面ABCD，故其体积为V＝×(2＋4)×2×2＝4.
11．(2021·潍坊市质检)已知三棱锥S－ABC的全部顶点都在球O的球面上，底面△ABC是边长为1的正三角形，棱SC是球O的直径且SC＝2，则此三棱锥的体积为( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] 过点B作BD⊥SC于点D，连接AD，由于△SBC≌△SAC，所以AD⊥SC，又BD∩AD＝D，所以SC⊥平面ABD，由于SB⊥BC，SC＝2，BC＝1，所以BD＝AD＝sin60°＝，又AB＝1，所以S△ABD＝×1×＝，所以V三棱锥S－ABC＝×S△ABD×SC＝××2＝.
12．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1, E、F分别是棱AA′、CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM＝x，x∈[0,1]，给出以下四个命题：
①平面MENF⊥平面BDD′B′；
②当且仅当x＝时，四边形MENF的面积最小；
③四边形MENF周长L＝f(x)，x∈[0,1]是单调函数；
④四棱锥C′－MENF的体积V＝h(x)为常函数；
以上命题中假命题的序号为( )
A．①④ B．②
C．③ D．③④
[答案] C
[解析] AC⊥平面BDD′B′，EF∥AC，∴EF⊥平面BDD′B′，∴①正确；∵EF为所在棱的中点，由对称性及条件知四边形EMFN为菱形，其面积随着对角线MN的增大而增大，当x＝时，M为BB′的中点，此时MN取最小值，∴②正确，③错误；V四棱锥C′－MENF＝2VC′－MEF＝2VE－MFC′为常数，
∴V＝h(x)为常函数．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为________．
[答案] 1
[解析] 依题意得三棱锥P－ABC的主视图与左视图均为三角形，且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都相等，因此三棱锥P－ABC的主视图与左视图的面积之比等于1.
14．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
[答案] 30
[解析] 本题考查三视图及柱体体积公式．
由三视图知该几何体由一个棱长为3,4,2的长方体和一个底面是直角梯形高为4的直棱柱组成，则体积V＝3×4×2＋×1×4＝30.
15．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则
①棱AB与PD所在直线垂直；
②平面PBC与平面ABCD垂直；
③△PCD的面积大于△PAB的面积；
④直线AE与平面BF是异面直线．
以上结论正确的是________．(写出全部正确结论的编号)
[答案] ①③
[解析] 由条件可得AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，故①正确；
若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，得PB⊥平面ABCD，从而PA∥PB，这是不行能的，故②错；
S△PCD＝CD·PD，S△PAB＝AB·PA，由AB＝CD，PD>PA知③正确；
由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EF∥CD，又AB∥CD，∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错，故填①③.
16．(2022·邯郸一模)已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2沿AC折成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积________．
[答案] π
[解析] 在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，∴AB＝2，AD＝1，CD＝1，∴AC＝，BC＝，∴BC⊥AC，取AC的中点E，AB中点O，当三棱锥体积最大时，平面DCA⊥平面ACB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴OB＝1，∴V＝πR3＝π.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝1，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝30°.
(1)求证：AC⊥PB；
(2)当PD＝2时，求此四棱锥的体积．
[解析] (1)∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，
又∠CBA＝30°，BC＝2，AB＝4，
∴AC＝
＝＝2，
∴AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2，
∴∠ACB＝90°，故AC⊥BC.
又∵PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，
故AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB．
(2)当PD＝2时，作CE⊥AB交AB于E，
在Rt△CEB中，CE＝CB·sin30°＝2×＝，
又在Rt△PCD中，DC＝1，∴PC＝，
∴VP－ABCD＝·PC·SABCD＝××(1＋4)×
＝.
18．(本题满分12分)(2022·山西太原检测)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．
(1)求证：AC⊥平面BDEF；
(2)求证：平面BDGH//平面AEF；
(3)求多面体ABCDEF的体积．
[解析] (1)证明：由于四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD．
又由于平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，
且AC⊂平面ABCD，
所以AC⊥平面BDEF.
(2)证明：在△CEF中，由于G、H分别是CE、CF的中点，
所以GH∥EF，
又由于GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD＝O，连接OH，
在△ACF中，由于OA＝OC，CH＝HF，
所以OH∥AF，
又由于OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又由于OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
(3)解：由(1)，得AC⊥平面BDEF，
又由于AO＝，四边形BDEF的面积SBDEF＝3×2＝6，
所以四棱锥A－BDEF的体积V1＝×AO×SBDEF＝4.
同理，四棱锥C－BDEF的体积V2＝4.
所以多面体ABCDEF的体积V＝V1＋V2＝8.
19．(本题满分12分)(2021·洛阳市期末) 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：OM∥平面PAB；
(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；
(3)当三棱锥M－BCD的体积等于时，求PB的长．
[解析] (1)∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，
∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，
OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，
∴OM∥平面PAB．
(2)∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD．
∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA＝A，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC，
(3)由于底面ABCD是菱形，M是PD的中点，
所以VM－BCD＝VM－ABCD＝VP－ABCD，从而VP－ABCD＝.
又AB＝2，∠BAD＝60°，所以S菱形ABCD＝2.
∵四棱锥P－ABCD的高为PA，∴×2×PA＝，得PA＝，
∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．
在Rt△PAB中，PB＝＝＝.
20．(本题满分12分)(2022·威海两校质检)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝2，E是侧棱PC上的动点．
(1)求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)假如E是PA的中点，求证PC∥平面BDE；
(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．
[解析] (1)∵PA⊥平面ABCD，
∴VP－ABCD＝S正方形ABCD·PA＝×12×2＝.
即四棱锥P－ABCD的体积为.
(2)连接AC交BD于O，连接OE.
∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点．
又∵E是PA的中点，∴PC∥OE.
∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC∥平面BDE.
(3)不论点E在何位置，都有BD⊥CE.
证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.
∵PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.
又∵AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC.
∵不论点E在何位置，都有CE⊂平面PAC.
∴不论点E在何位置，都有BD⊥CE.
21．(本题满分12分)(2021·海淀区期末)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，又AD∥BC，AD⊥DC，且BC＝PD＝3AD＝3.
(1)画出四棱锥P－ABCD的正视图；
(2)求证：平面PAD⊥平面PCD；
(3)求证：棱PB上存在一点E，使得AE∥平面PCD，并求的值．
[解析] (1)四棱锥P－ABCD的正视图如图所示．
(2)证明：由于PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD．
由于AD⊥DC，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AD⊥平面PCD．
由于AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PCD．
(3)证明：当＝时，AE∥平面PCD．
理由如下：分别延长CD，BA交于点O，连接PO.
由于AD∥BC，BC＝3AD，所以＝＝，即＝.
所以＝，所以AE∥OP.
由于OP⊂平面PCD，AE⊄平面PCD，所以AE∥平面PCD．
22．(本题满分12分)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1＝BC，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．
(1)求证：B1C∥平面A1BD；
(2)求证：B1C1⊥平面ABB1A1；
(3)在CC1上是否存在一点E，使得∠BA1E＝45°，若存在，试确定E的位置，并推断平面A1BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由．
[分析] (1)连接AB1，交A1B于M，则MD就是平面A1BD内与B1C平行的直线；(2)需在平面ABB1A1中找两条相交直线都与B1C1垂直，由直三棱柱的概念，知BB1⊥B1C1，另一条的查找，从AC1⊥平面A1BD，以平行四边形ABB1A1为正方形入手，证明A1B⊥平面AB1C1从而得出A1B⊥B1C1.(3)用余弦定理解△A1BE.
[解析] (1)连接AB1与A1B相交于M，则M为AB1的中点．连接MD，又D为AC的中点，
∴B1C∥MD，
又B1C⊄平面A1BD，MD⊂平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD．
(2)∵AB＝B1B，∴平行四边形ABB1A1为正方形，
∴A1B⊥AB1.又∵AC1⊥平面A1BD，
∴AC1⊥A1B，∴A1B⊥平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1.
又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥B1C1，
∴B1C1⊥平面ABB1A1.
(3)设AB＝a，CE＝x，∵B1C1⊥A1B1，在Rt△A1B1C1中有A1C1＝a，同理A1B＝a，∴C1E＝a－x，
∴A1E＝＝，
BE＝，
∴在△A1BE中，由余弦定理得
BE2＝A1B2＋A1E2－2A1B·A1E·cos45°，即
a2＋x2＝2a2＋x2＋3a2－2ax－2a·，
∴＝2a－x，
∴x＝a，即E是C1C的中点，
∵D、E分别为AC、C1C的中点，∴DE∥AC1.
∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD．
又DE⊂平面BDE，∴平面A1BD⊥平面BDE.
[方法点拨] 空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开头转向另一种垂直，最终达到目的，其转化关系为线线垂直线面垂直面面垂直．
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