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124教研园地JIAO YAN YUAN DI少学时线性代数教学方法探讨陈莺江苏警官学院（江苏省南京市210031）摘要：本文论述了少学时线性代数教学中存在的一些问题，并对如何推进线性代数的教学进行了思考和探讨。教师应把握主线整合教学内容，使用 PIPA 过程教学，提高教学质量。关键词：线性代数教学内容教学方法线性代数是高等院校本科专业的一门重要的数学基础理论课，对各专业的后续课程学习起着重要的作用。该课程抽象程度高、理论体系复杂，是公认的教学难度较大的课程。然而各高校普遍存在课时少、内容多的实际状况（比如我校安排 34学时，除去复习考试，实际授课仅有 28 学时）。这势必造成教学中理论多、例题少，多数学生在学习过程中感到课程枯燥乏味，内容不连贯，教学效果不甚理想。本人结合自己多年的教学实践与学习，根据线性代数课程内容特点，优化教学内容安排，在较少的学时内使学生尽量掌握线性代数的基本思想，为后续专业课学习奠定良好的基础。1课程内容分析目前多数高校线性代数的教学内容基本相同，一般包括行列式、矩阵、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵与二次型、线性空间与线性变换六大部分内容。每一部分都有大量的概念定理需要讲解，还有大量冗繁的计算。在课时少的情况下有些内容就得不到细致的讲解，这容易使学生产生不知所云之感，不能达到良好的教学效果。因此需要对教学内容进行整合和优化。这六部分内容可划分成三个层面。第一层面内容包括行列式、矩阵、线性方程组的解、向量组的线性相关性;第二层面为相似矩阵与二次型;第三层面为线性空间与线性变换。1本校囿于课时原因，只讲解第一层面。第一层面核心是线性方程组，它既是中学数学与大学数学的连接点，也是第二、三层面理论发展的推动力。以线性方程组为核心主线有利于启发学生由已知向未知转化，由特殊向一般过渡，在思维层面上由形象向抽象提高认识。2把握内容主线如果教师孤立的对每一章做详细的讲解，学生只能掌握一些支离破碎的概念、定理、性质和解题方法，无法将所学知识融为一个有机的整体，更无法体会到线性代数的实质。仔细分析课程各部分内容会发现线性方程组的理论贯穿了课程的始终。如行列式、矩阵、向量、向量组等概念产生的背景，都可看成从线性方程组引申而来，反过来这些概念又为线性方程组服务。而且线性方程组消元法的求解，学生在中学就接触过，从线性方程组着手讲解新的概念理论，采用启发式教学，能完成新旧知识的自然过渡，激发学主动学习的积极性。少学时线性代数研究的主线可归结为下列线性方程组11 11221121 1222221 122(*)nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb+=+=+=解的研究。（1）求解线性方程组与矩阵的定义与运算线性方程组求解过程书写冗繁，为了表达的简洁，引入矩阵定义和运算概念。设111212122212=()nnijm nmmmnaaaaaaAaaaa=，1122,nmxbxbxbxb=，这样线性方程组（*）可简洁表示为Axb=。（2）求解线性方程组与矩阵的初等变换用高斯消元法解线性方程组，做同解变化的过程就是对（*）的增广矩阵11121121222212nnmmmnmaaabaaabBaaab=做初等行变换，得到1,1112,122,1+1100010001000000000rnrnr rrnrrccdccdccdd+，转化得到（*）的同解方程组，从而得到（*）的解的情况。（3）求解线性方程组与矩阵的秩。线性方程组（*）有解，即没有矛盾方程，其对应的矩阵表达为它的系数矩阵 A 的秩和它增广矩阵 B 的秩相等。线性方程组（*）有唯一解，即有效方程个数与未知量个数相等，对应矩阵表达为()()r Ar Bn=；线性方程组线性方程组（*）125 教研园地JIAO YAN YUAN DI有无穷多个解，即有效方程个数少于未知量个数，对应矩阵表达为()()r Ar Bn=。（4）求解线性方程组与向量组的线性相关线性方程组（*）中，若设 m 维向量12(,),1,2,Tjjjmjaaajn=，则线性方程组（*）可以转化为向量表达式1122nnxxxb+=。线性方程组（*）有解的充分必要条件是向量 b 能由向量组12,n 线性表示，或者说向量组12,nb 线性相关。如果线性方程组（*）有唯一解，则向量 b 能由向量组12,n 线性表示且表示法唯一；如果线性方程组（*）有无穷多解，则向量 b 能由向量组12,n 线性表示但表示法不唯一。（5）求解线性方程组与特征值、特征向量数 是 否 是 方 阵 A 的 特 征 值 归 结 为 齐 次 线 性 方 程 组|E-A|=0 有无非零解。通过以上案列可以清楚地看到，线性代数中很多问题都可以转化为对线性方程组的研究。因此教师在教学过程中也应将线性方程组理论这条主线贯穿于整个线性代数课程的教学过程中，从而使学生对课程有一个整体的认识与把握2。学生在学习过程中只要抓住这条主线，学习起来就不会感到毫无头绪了。3遵循 PIPA 过程讲解研究学生如何理解数学概念以及学生如何进行数学学习的心理构建过程，对于改进教学有重要作用。杜宾斯基的APOS 理论、韬尔的过程性概念等，都为研究学生学习中的心理构建过程奠定了理论基础3。目前教科书中一般采取“定义-引理-证明-定理-证明-推论”模式，这个模式对于大多数学生而言是一个糟糕的体验。教师在进行基本概念理论教学时，应遵循更符合学生认知的 PIPA 过程”问题problem-直 觉 intuition-证 明 proof-应 用 application”4。在介绍新的概念之前，教师把相关问题背景讲解清楚；鼓励学生针对相应的问题根据直觉自己解答；教师介绍关于某个问题或概念的结论并证明，要强调证明过程中所用的方法；概念和结论的应用，可以是适当的例题和习题。(1)问题线性代数的某些抽象概念来自于学生实际还没学过的课程。如果按照教科书上那样直接写出诸如线性无关之类的定义，那么大多数学生理解起来是有难度的。教师在教学时要按照从特殊到一般，从已知到未知的思想方法，从具体问题着手。为了引入抽象概念，教师注意把握线性方程组这个主线，充分利用学生已经掌握的概念，选择学生相对说来容易理解的问题。比如从高斯消元法求解线性方程组的结论中，引入初等变换、矩阵表达与运算、向量的表达和向量组线性表示的概念，进而引入向量组的秩和矩阵秩的概念。从学生利用已知的知识提出学生能够理解的问题，进而过渡到新的概念理论，可有效降低学生的畏难心理，提高学生学习积极性。(2)直觉教师在教学中提出具体问题后，鼓励学生根据自己的直觉给出对问题的看法，这样可有效激发学生的学习兴趣，为抽象概念的引入或基本结论的导出做铺垫。比如线性方程组消元法求解时，书写繁琐，学生会直觉意识到好记号的重要性，此时引入矩阵的概念，学生就可以理解矩阵及其运算的必要性和重要性。如果学生对问题的直觉不正确，这也没有关系。教师引导学生去验证自己直觉的结论是否正确，进而理解错误原因，这对学生掌握新的概念和结论是帮助的。比如线性方程组是否存在只有两个解的情形时，很多学生根据直觉回答存在。教师可引导学生再次回顾高斯消元法，让学生体会自己直觉结论的错误原因，并得到完整的正确结论。这样学生对于线性方程组解的结论会有更深刻的认知。(3)证明学生根据直觉得到的结论是否正确，需要教师通过演算导出正确的理论，这个过程就是证明。但在线性代数实际教学过程中，教师常常因为内容多课时少的原因会跳过一些证明直接介绍结论，这导致学生只是机械记住结论而不理解知识的实质，对知识点的掌握是孤立而不系统的。数学证明是数学发展的推动之一，线性代数中许多证明需要概念化而不是具体计算。因此教师在教学中要重视那些概念化证明的讲解，证明本身也会帮助学生理解抽象概念和基本结论。比如在逆矩阵定义中，方阵 A 可逆是指存在方阵 B 使得AB=BA=E，也就是 AB=E“且”BA=E。但是，课本接下来又有结论：方阵 A 可逆的充分必要条件是存在方针 B 使得AB=E“或”BA=E。如果教师不证明，不介绍来龙去脉，学生会困惑为什么定义里要用“且”，直接用“或”不是更简洁吗？倘若教师之前证明过可逆方阵唯一性，那么学生就能理解理论从“且”到“或”的变化脉络，这些知识点就不是孤立的，而是形成了一个体系，学生理解知识会更深刻。因此教师在线性代数教学过程中要重视那些概念化的证明的讲解，要帮助学生理清证明思路，学会各种证明方法，最终理解要证明的结论，并将知识体系化。(4)应用少学时线性代数的应用主要是通过例题和习题来实现的。例题和习题帮助学生确认解决了开始提出的问题以及解决方法的掌握程度，是线性代数教学的重要组成部分。在少学时的情况下，例题和习题应把握少而精的原则。课堂上讲解的例题一定要典型、综合、具有针对性，不能是基本概念的简单重复和堆砌，而应能进一步启发学生思考并有助于126教研园地JIAO YAN YUAN DI作者简介：陈莺：（1981.11），女，汉族，江苏南京人，硕士研究生，讲师。研究方向：应用数学。学生由此解决其他问题。所选例题是传统例题不断精选改造而来，要新颖、精炼并具有普遍指导意义。课后的习题是在例题的基础上进一步强化学生对所学知识的理解，应包含三个层次。第一层，难度略低于课堂例题，可减少学生畏难情绪，帮助学生理解本次课堂的基本的知识概念；第二层，难度等同于课堂例题，虽有一定难度，但学生可参考例题解决，有助于学生建立学习自信；第三层，难度略高于课堂例题，需要将所学知识融会贯通，可帮助学生将所学知识系统化，进一步激发学生的学习兴趣。除了例题和习题这个应用，教师还可以鼓励学有余力的学生对某些算法（比如高斯消元法）进行计算机编程。尽管线性代数中出现的绝大多数算法已经有了现成的函数语言可用，但是学生自己用程序语言实现算法是有意义的。学生通过编程既可以深化线性代数的理解和应用，又可以提高其编程思维的缜密性，从而进一步激发他们的研究兴趣。上述 PIPA 过程适用于线性代数的大多数基本概念和基本理论教学，有助于学生理解抽象概念的来龙去脉，提高解决问题的能力。4借助数学软件辅助教学线性代数中很多知识都涉及计算，对于一些比较繁杂的计算，如高阶行列式的计算、高阶矩阵的运算、大型线性方程组的求解，在少学时情况下，教师在课堂上过多讲解这类计算失去了必要性。在讲完基本解法后，应适当介绍如何利用数学软件求解，比如利用 Matlab 解决大计算量的应用问题，将其纳入课后习题中去加强它的工程背景。这样能够使教师在课堂教学中，把重点放在提高学生的数学素养和培养学生应用数学知识分析问题和解决问题的能力上，而不是把教学的重点只放在培养学生的计算能力上。对于一些冗长繁琐的计算，可以通过计算机轻松完成，这样可以将学生从繁琐的计算中解脱出来，减轻学生的负担，使他们将注意力集中在基本概念和解题的基本步骤上，用更多的时间去领会数学的思想和方法，进而提高学生的科学计算能力、创新能力及理论与实践相结合的能力。例如在讲解如何求解求矩阵的相关参数时，可以以一个三阶行列式为例，先请学生用课堂所学知识尝试求解，使其体会计算繁琐情形下利用 Matlab 处理的简洁性。比如：输入矩阵 A=1,2,3;5,4,9;11,8,6；输入函数 rank(A)，运算可得 A 的秩为 3；输入函数 inv(A)，运算可得A 的逆矩阵为10.61540.15380.07690.88460.34620.07690.05130.17950.0769A=；输入函数 v,d=eig(A)，运算可得特征向量0.22820.47160.14180.63450.85200.69510.73850.2273.7048v=,特征值16.27230001.16780004.1045d=;因此在学生熟练掌握基本概念相关定理及解题基本方法后，可借助数学软件 Matlab 较快地解决复杂的计算，提高学生的学习兴趣，让他们进行新的思考与探索。以上是笔者在少学时情形下线性代数教学中的一些体会与思考。教学是门艺术，在教学时间非常有限的情况下，这就要求教师不仅要有扎实的专业功底，最关键的是要想办法如何在有限的时间内将知识传递给学生。经过多年的教学实践，教师调整教学内容结构，抓住主线，合理使用 PIPA 教学法，以及结合教学软件解决实际问题等几个方面进行教学，可有效提高教学质量和教学效果。总之要努力培养学生对线性代数课程的学习兴趣，培养学生对线性代数课程内容的分析、归纳、总结等基本素质。在少学时情况下，让学生顺利完成线性代数课程的学习，为后续专业课程的学习打下良好基础。课题项目：本论文为 2022 年度江苏警官学院教改项目“融入思政元素的少学时线性代数教学中的 PIPA 过程”研究成果，项目编号：2022B25。参考文献：1李本英，刘庆吉.线性代数教材的结构分析 J.黑龙江高教研究.1993(6):70-72.2杨二光，汪忠志.线性代数教学体会点滴 J.安徽工业大学学报（社会科学版）.2014(3):118-119.3朱琳，蒋启芬.国外线性代数的教学研究述评 J.数学教育学报.2018(2):79-83.4谭友军.数学专业线性代数教学中的 PIPA 过程 J.中国大学教学.2018(4):34-37.