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专题六 概率与统计
第1讲 统计与概率的基本问题
一、选择题
1．(2022·日照模拟)从8名女生和4名男生中，抽取3名同学参与某档电视节目，假如按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为 ( )．
A．224 B.112
C．56 D.28
解析 依据分层抽样，应抽取男生1名，女生2名，抽取2名女生1名男生的方法有CC＝112.
答案 B
2．(2022·北京顺义区统练)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为 ( )．
A．8万元 B.10万元
C．12万元 D.15万元
解析 由频率分布直方图知，9时至10时的销售额的频率为0.1，故销售总额为＝30(万元)，又11时至12时的销售额的频率为0.4，故销售额为0.4×30＝12万元．
答案 C
3．随机询问100名性别不同的高校生是否爱好踢毽子运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
10
40
50
不爱好
20
30
50
总计
30
70
100
附表：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
k0
2.706
3.841
5.024
经计算，统计量K2＝4.762，参照附表，得到的正确结论是 ( )．
A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析 由于4.762＞3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”，或者认为有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，因此，只能选A.
答案 A
4.(2022·北京市朝阳区综合练习)如图，设区域D＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，向区域D内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域M＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤x3}的概率为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 阴影部分的面积
S＝x3dx＝x4＝，故P＝.
答案 A
二、填空题
5．(2022·广东卷)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．
解析 十个数中任取七个不同的数共有C种状况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C种状况，于是所求概率P＝＝.
答案
6．(2022·青岛质量检测)在试验室进行的一项物理试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能消灭在第一或最终一步，程序B和C在实施时必需相邻，则试验挨次的编排方法共有________种．
解析 设6个程序分别是A，B，C，D，E，F.先将A支配在第一或最终一步，有A种方法；将B和C看作一个元素，它们自身之间有A种方法，与其他程序进行全排列，有A种方法，由分步乘法计数原理得试验挨次的编排方法共有AAA＝96种．
答案 96
7．(2022·德州模拟)在区间[－2,3]上任取一个数a，则函数f(x)＝x3－ax2＋(a＋2)x有极值的概率为________．
解析 区间[－2,3]的长度为5，f′(x)＝x2－2ax＋a＋2.函数f(x)＝x3－ax2＋(a＋2)x有极值等价于f′(x)＝x2－2ax＋a＋2＝0有两个不等实根，即Δ＝4a2－4(a＋2)＞0，解得a＜－1或a＞2，又∵a∈[－2,3]，∴－2≤a＜－1或2＜a≤2，范围区间的长度为2，所以所求概率P＝.
答案
8．(2022·长沙模拟)以下四个命题中：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的确定值越接近于1；
③在某项测量中，测量结果ξ听从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8；
④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，推断“X与Y有关系”的把握程度越大．
其中真命题的有____________(填序号)．
解析 ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，不是分层抽样．故①是假命题；
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的确定值越接近于1.故②是真命题；
③在某项测量中，测量结果ξ听从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，则分布密度曲线关于直线x＝1对称，所以P(0＜ξ＜1)＝P(1＜ξ＜2)，即P(0＜ξ＜2)＝P(0＜ξ＜1)＋P(1＜ξ＜2)＝0.4＋0.4＝0.8.故③是真命题；
④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，推断“X与Y有关系”的把握程度越小．故④是假命题．
答案 ②③
三、解答题
9．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.
(1)依据茎叶图计算样本均值；
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．依据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
解 (1)样本平均值为＝＝22，故样本均值为22.
(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为＝，
故推断该车间12名工人中有12×＝4名优秀工人．
(3)设大事A：“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”，则P(A)＝＝.
所以恰有1名优秀工人的概率为.
10．袋子中放有大小和外形相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出小球标号为a，其次次取出的小球标号为b.
①记“a＋b＝2”为大事A，求大事A的概率；
②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求大事“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．
解 (1)由题意可得＝＝，解得n＝2.
(2)①由于是不放回抽取，大事A只有两种状况：第一次取0号球，其次次取2号球；第一次取2号球，其次次取0号球，所以P(A)＝＋＝＝.
②记“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”为大事B，则大事B等价于“x2＋y2＞4恒成立”．
(x，y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}．
而大事B构成的区域B＝{(x，y)|x2＋y2＞4，(x，y)∈Ω}，所以P(B)＝＝1－.
11．(2022·广东卷)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.
依据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25,30]
3
0.12
(30,35]
5
0.20
(35,40]
8
0.32
(40,45]
n1
f1
(45,50]
n2
f2
(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
(2)依据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
(3)依据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率．
解 (1)依据已知数据统计出n1＝7，n2＝2；
计算得f1＝＝0.28，f2＝＝0.08.
(2)由于组距为5，用得各组的纵坐标分别为0.024,0.040,0.064,0.056,0.016.
不妨以0.008为纵坐标的一个单位长、5为横坐标的一个单位长画出样本频率分布直方图如下．
(3)依据样本频率分布直方图，以频率估量概率，则在该厂任取1人，其日加工零件数落在区间(30,35]的频率为0.2，估量其概率为0.2.
设所取的4人中，日加工零件数落在区间(30,35]的人数为ξ，则ξ～B(4,0.2)，
P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.2)4＝1－0.409 6＝0.590 4，所以在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,45]的概率为0.590 4.
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