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第七章 第三节
一、选择题
1．(文)不等式组所围成的平面区域的面积为( )
A．3 B．6
C．6 D．3
[答案] D
[解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt△ABC，易求B(4,4)，A(1,1)，C(2,0)
∴S△ABC＝S△OBC－S△AOC＝×2×4－×2×1＝3.
(理)在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
A．－5 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] 由题意知a>－1，此时不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，记为△ABC，则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)，
∵S△ABC＝2，∴×(1＋a)×1＝2，解得a＝3.
2．(文)(2021·长春三校调研)在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内恰有两个点在圆x2＋(y－b)2＝r2(r>0)上，则( )
A．b＝0，r＝ B．b＝1，r＝1
C．b＝－1，r＝ D．b＝－1，r＝
[答案] D
[解析] 不等式组所表示的区域如图中阴影部分所示，简洁求得当b＝－1，r＝时满足题意．
(理)(2021·辽宁五校联考)已知集合A＝{(x，y)|}，B＝{(x，y)|x2＋(y－1)2≤m}，若A⊆B，则m的取值范围是( )
A．m≥1 B．m≥
C．m≥2 D．m≥
[答案] C
[解析] 作出可行域，如图中阴影部分所示，三个顶点到圆心(0,1)的距离分别是1,1，，由A⊆B得三角形内全部点都在圆的内部，故≥，解得m≥2.
3．(文)(2022·唐山市二模)设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则2x＋y的最大值和最小值分别为( )
A．1，－1 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
[答案] B
[解析] 不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域如图所示，
作直线l0：2x＋y＝0，平移直线l0，当l0经过点(1,0)时，2x＋y取最大值2，当l0经过点(－1,0)时，2x＋y取最小值－2.
(理)(2022·邯郸质检)已知实数x，y满足，则z＝2x＋y的最大值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
[答案] C
[解析] 依题意，画出不等式组表示的平面区域及直线2x＋y＝0(图略)，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(3,2)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝2x＋y取得最大值，最大值是2×3＋2＝8，选C.
4．(文)(2022·天津耀华中学月考)设x，y满足则z＝x＋y( )
A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最小值，也无最大值
[答案] B
[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图，作直线l0：x＋y＝0，平移l0当平移到经过点B时z取最小值，z无最大值，故选B.
(理)(2022·哈三中一模)若变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的最小值为( )
A．－4 B．0
C. D．4
[答案] B
[解析] 作出可行域如图，作直线l0：3x－y＝0，平移l0当经过可行域内的点A(1，)时，－z最大．
从而z取最小值．
∴zmin＝3×1－＝.
5．(文)(2022·石家庄市二检)已知实数x，y满足假如目标函数z＝x－y的最小值为－2，则实数m的值为( )
A．0 B．2
C．4 D．8
[答案] D
[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示，
由得
作直线l0：x－y＝0，平移直线l0，当l0经过平面区域内的点(，)时，z＝x－y取最小值－2，∴－＝－2，∴m＝8.
(理)已知变量x、y满足约束条件若目标函数z＝y－ax仅在点(5,3)处取得最小值，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
[答案] A
[解析] 点M(5,3)为直线y＝3与x－y＝2的交点，画出可行域，让直线y＝ax＋z绕点M(5,3)旋转，欲使仅在M点z取最小值，应有a>1.
6．(文)(2021·湖北)某旅行社租用A、B两种型号的客车支配900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31200元 B．36000元
C．36800元 D．38400元
[答案] C
[解析] 设租A型车x辆，B型车y辆，租金为z元，则
，画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z＝1600x＋2400y在点N(5,12)处取得最小值36800，故选C.
(理)(2021·山东泰安市上学期期末)某所学校方案聘请男老师x名，女老师y名，x和y须满足约束条件则该校聘请的老师人数最多是( )
A．6 B．8
C．10 D．12
[答案] C
[解析] 设z＝x＋y，则y＝－x＋z，作出可行域如图，当y＝－x＋z经过点C(6,7)时，z取最大值，但C点不在可行域内，满足条件的点为(5,5)，∴z＝10.
即该校聘请的老师人数最多为10名．
二、填空题
7．(2021·淮南其次次联考)已知x，y满足则目标函数z＝2x－y的最大值为________．
[答案] 3
[解析] 画出可行域如图，易知y＝2x－z过点C(2,1)时，zmax＝3.
8．(2022·北京西城一模)若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是________．
[答案] (3,5)
[解析] 平面区域如图中的阴影部分，
直线2x＋y＝6交x轴于点A(3,0)，交直线x＝1于点B(1,4)，当直线x＋y＝a与直线2x＋y＝6在线段AB(不包括线段端点)时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形．将点A的坐标代入直线x＋y＝a的方程得a＝3，将点B的坐标代入直线x＋y＝a的方程得a＝5，故实数a的取值范围是(3,5)．
9．(2022·吉林市二检)已知实数x，y满足，则目标函数z＝2x－y的最大值为________．
[答案] 5
[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示，作直线l0：2x－y＝0，平移直线l0，当l0经过平面区域内的点(2，－1)时，z取最大值5.
[点评] 应留意线性目标函数z＝ax＋by当b>0与b<0时最值的不同．
设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝4x＋y的最大值为________．
[答案] 11
[解析] 如图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故z＝4x＋y在P(2,3)处取得最大值，最大值为11.
10．(文)(2022·海南六校联考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为________．
[答案] －
[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图所示．
由，得.
∴当点M的坐标为(3，－1)时，直线OM的斜率取最小值－.
(理)(2022·豫东、豫北十所名校段测)已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是________．
[答案] (－1，－]
[解析] 画出约束条件表示的平面区域如图所示．
表示平面区域内的点与原点连线的斜率的取值范围，∈[－3，－1)，∴∈(－1，－]．
[点评] 数形结合思想在线性规划中的应用：线性规划问题的求解基本上是在图上完成的，留意图形要力求精确 规范．另外还要记住常见代数式的几何意义：
(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
(2)表示点(x，y)与点(a，b)的距离；
(3)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；
(4)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率等．
练习下列各题：
①已知实数x、y满足不等式组且z＝x2＋y2＋2x－2y＋2的最小值为2，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．(－∞，] D．
[答案] B
[解析] 画出可行域如图所示，由题知z＝(x＋1)2＋(y－1)2，过点(－1,1)作直线y＝x的垂线，垂足为原点O，点(－1,1)与点O之间距离的平方恰好为2，说明点O确定在可行域内，则直线y＝x＋m在y轴上的截距m≤0，故选B.
本题解题的关键是理解z的最小值为2的含义及观看出(－1,1)到原点距离的平方为2，这样最优解为O(0,0)，从而知当y＝x＋m经过O点时，取最优解，不经过O点时，向哪移动才能保证点O在可行域内，即可得出问题的答案．
②设实数x、y满足则u＝的取值范围是( )
A．[，2] B．[，]
C．[，2] D．[2，]
[答案] A
[解析] 在坐标平面上点(x，y)所表示的区域如图所示，令t＝，依据几何意义，t的值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，明显kOA最小，kOB最大，
∵点A(3,1)，点B(1,2)，故≤t≤2.
③(2021·濮阳模拟)已知点A(2,0)，点P的坐标(x，y)满足则||·cos∠AOP(O为坐标原点)的最大值是________．
[答案] 5
[解析] ||·cos∠AOP即为在上的射影，即求不等式组所表示的可行域中点的横坐标的最大值．
由可得交点的坐标为(5,2)，此时||·cos∠AOP取值最大，
∴||·cos∠AOP的最大值为5.
④设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．[2,4] D．[2，＋∞)
[答案] D
[解析] 作出可行区域，如图，由题可知点(2，a2)应在点(2,4)的上方或与其重合，故a2≥4，
∴a≥2或a≤－2，又a>0且a≠1，∴a≥2.
⑤设实数x，y满足不等式组且x2＋y2的最小值为m，当9≤m≤25时，实数k的取值范围是( )
A．(－2,5) B．[－2,5]
C．(－2,5] D．(0,5]
[答案] B
[解析]
不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x2＋y2的最小值m即为|OA|2，
联立，得A(，)．
由题知9≤()2＋()2≤25，解得－2≤k≤5.
⑥(2022·山东青岛一模)已知实数x，y满足约束条件则w＝的最小值是( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
[答案] D
[解析] 画出可行域，如图所示．
w＝表示可行域内的点(x，y)与定点P(0，－1)连线的斜率，观看图形可知PA的斜率最小为＝1，故选D.
⑦(2022·安徽池州一中月考)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax2的图象过区域M的a的取值范围是( )
A．[，] B．[，9]
C．(－∞，9) D．[，9]
[答案] D
[解析] 题中可行域M如图所示，y＝ax2经过可行域M，则a>0，分别计算出经过(3,8)，(1,9)点时a的值，则a1＝，a2＝9，所以a的取值范围为[，9]，故选D.
一、选择题
11．(2021·遵义航天中学一模)设变量x，y满足约束条件，则S＝的取值范围是( )
A．[1，] B．[，1]
C．[，2] D．[1,2]
[答案] D
[解析] 作出满足约束条件的可行域，图略，依据题意，s＝可以看作是可行域中的一点与点(－1，－1)连线的斜率，由图分析易得：当x＝1，y＝0时，其斜率最小，即s＝取最小值；当x＝0，y＝1时，其斜率最大，即s＝取最大值2，故s＝的取值范围是[，2]，故选D.
12．(2021·山师大附中模拟)若实数x，y满足条件，则2x＋y的最大值是( )
A．8 B．7
C．4 D．2
[答案] B
[解析] 首先依据题意画出约束条件所表示的区域如图所示，然后令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，要求2x＋y的最大值，即是求y＝－2x＋z的截距最大，由图可知，当直线y＝－2x＋z过点C时，其截距最大，联立直线方程解之得即点C的坐标为(3,1)，将其代入z＝2x＋y得，z＝2×3＋1＝7.
13．(2021·成都市树德中学期中)设x、y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为6，则＋的最小值为( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] ∵a>0，b>0，
∴目标函数z＝ax＋by在经过点A时取到最大值，解得∴4a＋6b＝6，∴2a＋3b＝3，
∴＋＝(＋)·(2a＋3b)＝(26＋＋)≥(26＋2×12)＝，等号成立时，a＝b＝.
14．(文)(2022·郑州市质检)设实数x，y满足不等式组， 则x2＋y2的取值范围是( )
A．[1,2] B．[1,4]
C．[ ,2] D．[2,4]
[答案] B
[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图所示，x2＋y2表示的几何意义为平面区域内的点到坐标原点距离的平方，∴x2＋y2∈[1,4]．
(理)(2022·衡水中学五模)设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by(a，b>0)的最大值是12，则a2＋b2的最小值是( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 作出可行域如图，∵z＝ax＋by的最大值为12，a>0，b>0，
∴当直线z＝ax＋by经过点A(4,6)时z取到最大值，
∴4a＋6b＝12，∴2a＋3b＝6，
∵原点到直线2x＋3y＝6的距离d＝，
∴a2＋b2的最小值为.
二、填空题
15．设变量x、y满足约束条件其中a>1，若目标函数z＝x＋y的最大值为4，则a的值为________．
[答案] 2
[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．∵y＝－x＋z，∴欲使z最大，只需使直线y＝－x＋z的纵截距最大，
∵a>1，∴直线x＋ay＝7的斜率大于－1，故当直线y＝－x＋z经过直线y＝3x与直线x＋ay＝7的交点(，)时，目标函数z取得最大值，最大值为.由题意得＝4，解得a＝2.
16．(2021·焦作市期中)已知点O为坐标原点，点M(2，－1)，点N(x，y)满足不等式组，则·的最大值为________．
[答案] 10
[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图，设·＝z，则z＝2x－y作直线l0：y＝2x，平移直线l0可知当直线z＝2x－y经过可行域内的点B(4，－2)时，－z取最小值，从而z取最大值，zmax＝2×4－(－2)＝10.
三、解答题
17．某人有楼房一幢，室内面积共计180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15m2，可住游客3
名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．假如他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
[解析] 设隔出大房间x间，小房间y间时收益为z元，
则x，y满足且z＝200x＋150y.
约束条件可化简为：
可行域为如图所示的阴影部分(含边界)作直线l：200x＋150y＝0，即直线l：4x＋3y＝0把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过点B，且与原点的距离最大，此时z＝200x＋150y取得最大值．
解方程组
得到B(，)．
由于点B的坐标不是整数，而最优解(x，y)中的x，y必需都是整数，所以，可行域内的点B(，)不是最优解，通过检验，当经过的整点是(0,12)和(3,8)时，z取最大值1800元．
于是，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益．
[点评] 当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解四周的整点检验，找出符合题意的整数最优解．
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