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学案4 运动图象 追及相遇问题
一、 概念规律题组
1．如图1所示为甲、乙两物体的x－t图象，则( )
图1
A．甲、乙两物体都做匀速直线运动
B．若甲、乙两物体在同始终线上运动，则确定会相遇
C．t1时刻甲、乙相遇
D．t2时刻甲、乙相遇
答案 ABC
2．某物体沿始终线运动，其v－t图象如图2所示，则下列说法中正确的是( )
图2
A．第2 s内和第3 s内速度方向相反
B．第2 s内和第3 s内速度方向相同
C．第2 s末速度方向发生变化
D．第5 s内速度方向与第1 s内方向相同
答案 B
3．如图3所示为某质点运动的速度—时间图象，下列有关该质点运动状况的推断正确的是( )
图3
A．0～t1时间内加速度为正，质点做加速运动
B．t1～t2时间内加速度为负，质点做减速运动
C．t2～t3时间内加速度为负，质点做减速运动
D．t3～t4时间内加速度为正，质点做加速运动
答案 AB
解析 由图象可知，在0～t1时间内加速度为正，速度也为正，加速度方向与速度方向相同，故质点做加速运动；在t1～t2时间内加速度为负，速度为正，加速度方向与速度方向相反，故质点做减速运动；在t2～t3时间内加速度为负，速度也为负，加速度方向与速度方向相同，故质点做加速运动；在t3～t4时间内加速度为正，速度为负，加速度方向与速度方向相反，质点做减速运动．
4．如图4所示为一物体做匀变速直线运动的图象．由图象作出的下列推断中正确的是( )
图4
A．物体始终沿正方向运动
B．物体先沿负方向运动，在t＝2 s后沿正方向运动
C．在t＝2 s前物体位于动身点负方向上，t＝2 s后位于动身点正方向上
D．在t＝2 s时，物体距动身点最远
答案 BD
解析 物体的运动方向即为速度方向．由图象知，在t＝2 s前，速度为负，物体沿负方向运动，2 s后速度为正，物体沿正方向运动，A是错的，B是正确的．
物体的位置由起点及运动的位移打算．取起点为原点则位置由位移打算．在v－t图象中，位移数值是图象与坐标轴所围的面积．由图象可知t<2 s时物体的位移为负，t＝2 s时确定值最大．t＝2 s后，位移为负位移与正位移的代数和，确定值减小，所以t＝2 s时位移确定值最大即物体离动身点最远，所以D正确，C错，所以选B、D.
二、思想方法题组
5．甲、乙两辆汽车在平直的大路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过大路旁的同一个路标．在描述两车运动的v－t图象中(如图5所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动状况．关于两车之间的位置关系，下列说法中正确的是( )
图5
A．在0～10 s内两车渐渐靠近
B．在10～20 s内两车渐渐远离
C．在5～15 s内两车的位移相等
D．在t＝10 s时两车在大路上相遇
答案 C
解析 由题图知乙做匀减速直线运动，初速度v乙＝10 m/s，加速度大小a乙＝0.5 m/s2；甲做匀速直线运动，速度v甲＝5 m/s.当t＝10 s时v甲＝v乙，甲、乙两车距离最大，所以0～10 s内两车之间的距离越来越大；10～20 s内两车之间的距离越来越小，t＝20 s时，两车距离为零，再次相遇，故A、B、D错误；在5～15 s时间内，两图线与时间轴围成的面积相等，因而两车位移相等，故C正确．
6．一辆警车在平直的大路上以40 m/s的速度巡逻，突然接到报警，在前方不远处有歹徒抢劫，该警车要尽快赶到出事地点且到达出事地点时的速度也为40 m/s，有三种行进方式：a为始终匀速直线运动；b为先减速再加速；c为先加速再减速，则( )
A．a种方式先到达 B．b种方式先到达
C．c种方式先到达 D．条件不足，无法确定
答案 C
解析 作出v－t图象如右图所示，从动身点到出事地点位移确定，依据v－t图象的意义，图线与坐标轴所围的面积相等，则只能tc<ta<tb，所以c种方式先到达．
思维提升
1．x－t图象和v－t图象都只能反映直线运动的规律，而不能反映曲线运动的规律．
2．x－t图象和v－t图象是用图线直观地反映位移或速度随时间变化的工具．图线上每一点表示某一时刻的位移或速度随时间的推移，也可反映其变化状况，而正负表示了位移或速度的方向．
3．利用图象解决问题要做到“六看”，即看轴、看线、看斜率、看面积、看截距、看拐点．
4．解决追及相遇问题要留意“一个条件”和“两个关系”，即两者速度相等；时间关系和位移关系.
一、运动图象的分析与运用
运动学图象主要有x－t图象和v－t图象，运用运动学图象解题可总结为六看：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面积”，五看“截距”，六看“特殊点”．
1．一看“轴”：先要看清两轴所代表的物理量，即图象是描述哪两个物理量之间的关系．
2．二看“线”：图象表示争辩对象的变化过程和规律．在v－t图象和x－t图象中倾斜的直线分别表示物体的速度和位移随时间变化的运动状况．
3．三看“斜率”：斜率表示纵、横坐标轴上两个物理量的比值，常用一个重要的物理量与之对应，用于定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢．x－t图象中斜率表示运动物体的速度的大小和方向．v－t图象中斜率表示运动物体的加速度的大小和方向．
4．四看“面积”：即图象和坐标轴所围的面积，也往往代表一个物理量，这要看两物理量的乘积有无意义．如v和t的乘积vt＝x，有意义，所以v－t图与横轴所围“面积”表示位移，x－t图象与横轴所围面积无意义．
5．五看“截距”：截距一般表示物理过程的初始状况，如t＝0时的位移或速度．
6．六看“特殊点”：如交点、拐点(转折点)等．如x－t图象的交点表示两质点相遇，但v－t图象的交点只表示速度相等．
【例1】 (2010·广东·17)图6是某质点运动的速度－时间图象，由图象得到的正确结果是( )
图6
A．0～1 s内的平均速度是2 m/s
B．0～2 s内的位移大小是3 m
C．0～1 s内的加速度大于2～4 s内的加速度
D．0～1 s内的运动方向与2～4 s内的运动方向相反
答案 BC
解析 由题图可以看出：0～1 s内质点做初速度为零、末速度为2 m/s的匀加速直线运动；1～2 s内质点以2 m/s的速度做匀速直线运动；2～4 s内质点做初速度为2 m/s，末速度为0的匀减速直线运动，故0～1 s内质点的平均速度为v＝ m/s＝1 m/s，选项A错误；0～2 s内图象与时间轴所围的面积在数值上等于位移的大小，x2＝ m＝3 m，选项B正确；0～1 s内质点的加速度a1＝ m/s2＝2 m/s2,2～4 s内质点的加速度a2＝ m/s＝－1 m/s2，选项C正确；因0～4 s内图线都在时间轴的上方，故速度始终沿正方向，选项D错误．
[规范思维] 运动的v－t图象是高考的热点．
(1)v－t图象中，图线向上倾斜表示物体做加速运动，向下倾斜表示物体做减速运动．
(2)v－t图象中，图线与横轴所围成的“面积”在数值上等于物体的位移，在t轴下方的“面积”表示位移为负．
[针对训练1] (2010·天津·3)质点做直线运动的v－t图象如图7所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s内平均速度的大小和方向分别为( )
图7
A．0.25 m/s 向右 B．0.25 m/s 向左
C．1 m/s 向右 D．1 m/s 向左
答案 B
解析 在v－t图象 ，图线与横轴所围面积代表位移，0～3 s内，x1＝3 m，向右；3～8 s内，x2＝－5 m，负号表示向左，则0～8 s内质点运动的位移x＝x1＋x2＝－2 m，向左，＝＝－0.25 m/s，向左，选项B正确．
【例2】 (2010·全国Ⅰ·24)汽车由静止开头在平直的大路上行驶，0～60 s内汽车的加速度随时间变化的图线如图8所示．
图8
(1)画出汽车在0～60 s内的v－t图线；
(2)求在这60 s内汽车行驶的路程．
答案 (1)见解析图 (2)900 m
解析 (1)0～10 s内，汽车做初速度为0的匀加速直线运动，10 s末速度v1＝a1t1＝2×10 m/s＝20 m/s
10～40 s内，汽车做匀速直线运动，40～60 s内，汽车做匀减速直线运动．
60 s末的速度v2＝v1＋a2t2＝20 m/s－1×20 m/s＝0.
v－t图线如右图所示．
(2)x＝v1t1＋v1t＋(v1＋v2)t2＝×20×10 m＋20×30 m＋×(20＋0)×20 m＝900 m.
[规范思维] 要把握v－t图象的斜率表示a，这也是a－t图象与v－t图象的联系点．本题由a－t图象画v－t图象，由v－t图象求路程，设计新颖、环环相扣．
【例3】 某质点在东西方向上做直线运动，其位移－时间图象如图9所示(规定向东为正方向)．试依据图象：
图9
(1)描述质点运动状况；
(2)求出质点在0～4 s、0～8 s、2～4 s三段时间内的位移和路程．
(3)求出质点在0～4 s、4～8 s内的速度．
答案 (1)见解析 (2)见解析 (3)2 m/s，方向向东；4 m/s，方向向西
解析 (1)从图象知：质点从t＝0开头由原点动身向东做匀速直线运动，持续运动4 s，4 s末开头向西做匀速直线运动，又经过2 s，即6 s末回到原动身点，然后又连续向西做匀速直线运动直到8 s末．
(2)在0～4 s内位移大小是8 m，方向向东，路程是8 m.
在0～8 s内的位移为－8 m，负号表示位移的方向向西，说明质点在8 s末时刻处于原动身点西8 m的位置上，此段时间内路程为24 m.
在2～4 s内，质点发生的位移是4 m，方向向东，路程也是4 m.
(3)在0～4 s内质点的速度为
v1＝＝ m/s＝2 m/s，方向向东；
在4～8 s内质点的速度为
v2＝＝ m/s＝－4 m/s，方向向西．
[规范思维] x－t图象不同于v－t图象，x－t图象中，图线向上倾斜表示物体沿正方向运动，向下倾斜表示物体沿负方向运动，图线的斜率表示物体的速度．
[针对训练2] (2010·潍坊二检)一遥控玩具小车在平直路上运动的位移－时间图象如图10所示，则( )
图10
A．15 s末汽车的位移为300 m
B．20 s末汽车的速度为－1 m/s
C．前10 s内汽车的速度为3 m/s
D．前25 s内汽车做单方向直线运动
答案 BC
解析 由位移－时间图象可知：前10 s内汽车做匀速直线运动，速度为3 m/s，加速度为0，所以C正确；10 s～15 s汽车处于静止状态，汽车相对于动身点的位移为30 m，所以A错误；15 s～25 s汽车向反方向做匀速直线运动，速度为－1 m/s，所以D错误，B正确．
二、追及相遇问题
争辩追及、相遇问题的实质，就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．
1．分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．
(1)一个临界条件——速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析推断问题的切入点
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．
2．能否追上的推断方法
物体B追赶物体A：开头时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0<xB，则能追上；若vA＝vB时，xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；若vA＝vB时，xA＋x0>xB，则不能追上．
3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，确定要留意推断追上前该物体是否已经停止运动．
【例4】 汽车以25 m/s的速度匀速直线行驶，在它后面有一辆摩托车，当两车相距1 000 m时，摩托车从静止起动做匀加速运动追赶汽车，摩托车的最大速度可达30 m/s，若使摩托车在4 min时刚好追上汽车．求：
(1)摩托车做匀加速运动的加速度a.
(2)摩托车追上汽车前两车相距最大距离x.
答案 (1)2.25 m/s2 (2)1 138 m
解析 (1)设汽车位移为x1，摩托车位移为x2
摩托车的加速度为a，摩托车达到最大速度所用时间为t，则
30 m/s＝at
x1＝25×240 m＝6 000 m
x2＝＋30(240－)
恰好追上的条件为x2＝x1＋1 000 m
解得a＝ m/s2＝2.25 m/s2
(2)摩托车与汽车速度相等时两车相距最远
设此时刻为T，最大距离为xmax
由运动学公式得25 m/s＝aT
解得T＝ s
所以xmax＝1 000＋25T－＝ m
＝1 138 m
[规范思维] (1)要抓住追上的等量关系x2＝x1＋x0；(2)要抓住追上前的临界条件：速度相等．(3)解追及相遇问题除题中所述解析法外，还有图象法、数学极值法等．本题同学们可试着用图象法求解．
[针对训练3] (2009·海南·8)甲乙两车在一平直道路上同向运动，其v－t图像如图11所示，图中△OPQ和△OQT面积分别是x1和x2(x1<x2)．初始时，甲车在乙车前方x0处( )
图11
A．若x0＝x1＋x2，两车不会相遇
B．若x0<x1，两车相遇2次
C．若x0＝x1，两车相遇1次
D．若x0＝x2，两车相遇1次
答案 ABC
解析 若乙车追上甲车时，甲、乙两车速度相同，即此时t＝T，则x0＝x1，此后甲车速度大于乙车速度，全程甲、乙仅相遇一次；若甲、乙两车速度相同时，x0<x1，则此时乙车已在甲车的前面，以后甲还会追上乙，全程中甲、乙相遇2次；若甲、乙两车速度相同时，x0>x1，则此时甲车仍在乙车的前面，以后乙车不行能追上甲车了，全程中甲、乙都不会相遇，综上所述，选项A、B、C对，D错．
【基础演练】
1．(2010·山东淄博期中)如图12所示为一质点做直线运动的速度－时间图象，下列说法正确的是( )
图12
A．整个过程中，CE段的加速度最大
B．整个过程中，BC段的加速度最大
C．整个过程中，D点所表示的状态离动身点最远
D．BC段所通过的路程是34 m
答案 ACD
解析 在速度－时间图象中，斜率代表加速度，CE段的斜率最大，故该段的加速度最大，故选项A正确；在D点，运动方向发生转变，故D点所表示的状态离动身点最远，选项C正确；在速度－时间图象中，图象与横轴所围的面积表示位移大小，故xBC＝ m＝34 m，BC段为单向直线运动，路程与位移相等，选项D正确．
2. 某人骑自行车在平直道路上行进，图13中的实线记录了自行车开头一段时间内的v－t图象．某同学为了简化计算，用虚线作近似处理，下列说法正确的是( )
图13
A．在t1时刻，虚线反映的加速度比实际的大
B．在0～t1时间内，由虚线计算出的平均速度比实际的大
C．在t1～t2时间内，由虚线计算出的位移比实际的大
D．在t3～t4时间内，虚线反映的是匀速直线运动
答案 BD
解析 如右图所示，t1时刻，实线上A点的切线为AB，实际加速度的大小即为AB的斜率，由图可知虚线反映的加速度小于实际加速度，故选项A错误；在v－t图象中，位移等于所对应图线与坐标轴所包围的面积，0～t1时间内，虚线所对应的位移大于实线所对应的位移，由＝知，由虚线计算出的平均速度比实际的大，故选项B正确；在t1～t2时间内，由虚线计算出的位移比实际的小，故选项C错误；t3～t4时间内虚线为平行于时间轴的直线，此线反映的运动为匀速直线运动，故选项D正确．
3．(2011·温州模拟)如图14所示为在同始终线上运动的A、B两质点的x－t图象，由图可知( )
图14
A．t＝0时，A在B的前面
B．B在t2时刻追上A，并在此后跑在A的前面
C．B开头运动的速度比A小，t2时刻后才大于A的速度
D．A运动的速度始终比B大
答案 AB
解析 t＝0时，A质点在x1处，而B质点在原点处，故A正确；由题图可知，0～t1时间内，A质点运动的速度比B大，但t1以后A质点静止不动，速度为零，故C、D均错误；t2时刻A、B两质点到达同一位置，之后B质点连续向前运动，跑到A质点的前面，故B正确．
4．(2011·潍坊模拟)如图15所示，汽车以10 m/s的速度匀速驶向路口，当行驶至距路口停车线20 m处时，绿灯还有3 s熄灭．而该汽车在绿灯熄灭时刚好停在停车线处，则汽车运动的速度(v)－时间(t)图象可能是( )
图15
答案 BC
解析 清楚地理解v－t图象中“面积”的物理意义是解本题的关键，A、D中的v－t图象中“面积”不等于20 m；B中v－t图象的“面积”可能等于20 m；C中v－t图象的“面积”正好等于20 m．B、C项正确，A、D项错误．
5．t＝0时，甲乙两汽车从相距70 km的两地开头相向行驶，它们的v－t图象如图16所示．忽视汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是( )
图16
A．在第1小时末，乙车转变运动方向
B．在第2小时末，甲乙两车相距10 km
C．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大
D．在第4小时末，甲乙两车相遇
答案 BC
解析 速度－时间图象在t轴以下的均为反方向运动，故2 h末乙车转变运动方向，A错；2 h末从图象围成的面积可知乙车运动位移大小为30 km，甲车位移为30 km，相向运动，此时两车相距70 km－30 km－30 km＝10 km，B对；从图象的斜率看，斜率大加速度大，故乙车加速度在4 h内始终比甲车加速度大，C对；4 h末，甲车运动位移为120 km，乙车运动位移为30 km，两车原来相距70 km，故此时两车还相距20 km，D错．
6．一物体由静止开头沿直线运动，其加速度随时间的变化规律如图17所示，取开头运动的方向为正方向，则物体运动的v－t图象正确的是( )
图17
答案 C
解析 本题考查加速度在v－t图象中的表示．在0～1 s内，a＝1 m/s2，物体从静止开头做正向匀加速运动，速度图象是一条直线，1 s末速度v1＝at＝1 m/s.在1 s～2 s内，a2＝－1 m/s2，物体将仍沿正方向运动，但要减速，2 s末时速度v2＝v1＋a2t＝0,2 s～3 s内重复0～1 s内运动状况，3 s～4 s内重复1 s～2 s内运动状况，故选C项．
7. (2011·陕西宝鸡调研)某跳伞运动训练争辩所，让一名跳伞运动员从悬停在高空的直升机中跳下，争辩人员利用运动员随身携带的仪器记录下了他的运动状况，通过分析数据，定性画出了运动员从跳离飞机到落地的过程中在空中沿竖直方向运动的v－t图象如图18所示，规定向下的方向为正方向，则对运动员的运动，下列说法正确的是( )
图18
A．0～15 s末都做加速度渐渐减小的加速运动
B．0～10 s末做自由落体运动，15 s末开头做匀速直线运动
C．10 s末打开降落伞，以后做匀减速运动至15 s末
D．10 s末～15 s末加速度方向竖直向上，加速度的大小在渐渐减小
答案 D
解析 在v－t图象中，图线的斜率代表加速度，从图象可以看出，0～10 s内，加速度方向向下，图线的斜率越来越小，故不是自由落体运动，是变加速直线运动，10 s末速度达到最大值；10 s末打开降落伞，加速度方向向上，物体做加速度渐渐减小的减速运动，15 s末加速度为零，速度达到稳定值，以后将做匀速直线运动．故选项D正确．
【力气提升】
8．甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发觉：甲经短距离加速后能保持9 m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的．为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置标记．在某次练习中，甲在接力区前x0＝13.5 m处作了标记，并以v＝9 m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令．乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒．已知接力区的长度为L＝20 m.
求：(1)此次练习中乙在接棒前的加速度a.
(2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离．
答案 (1)3 m/s2 (2)6.5 m
解析 (1)在甲发出口令后，甲、乙达到共同速度所用时间为t＝①
设在这段时间内甲、乙的位移分别为x1和x2，则
x2＝at2②
x1＝vt③
x1＝x2＋x0④
联立①②③④式解得a＝＝3 m/s2.
(2)在这段时间内，乙在接力区的位移为
x2＝＝13.5 m
完成交接棒时，乙离接力区末端的距离为
L－x2＝6.5 m.
9．(2011·江苏海安模拟)一辆值勤的警车停在大路边，当警员发觉从他旁边以v＝10 m/s的速度匀速行驶的货车严峻超载时，打算前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必需把握在90 km/h以内．问：
(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
(2)判定警车在加速阶段能否追上货车．(要求通过计算说明)
(3)警车发动后要多长时间才能追上货车？
答案 (1)75 m (2)不能 (3)12 s
解析 (1)警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等．则t1＝ s＝4 s
x货＝(5.5＋4)×10 m＝95 m
x警＝at＝×2.5×42 m＝20 m；所以两车间的最大距离Δx＝x货－x警＝75 m.
(2)vm＝90 km/h＝25 m/s，当警车刚达到最大速度时，运动时间t2＝ s＝10 s
x货′＝(5.5＋10)×10 m＝155 m
x警′＝at＝×2.5×102 m＝125 m
由于x货′>x警′，故此时警车尚未赶上货车．
(3)警车刚达到最大速度时两车距离Δx′＝x货′－x警′＝30 m，警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间后追赶上货车．则Δt＝＝2 s
所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12 s才能追上货车．
易错点评
1．要留意区分x－t图象与v－t图象的不同意义．
2．要留意把图象与实际的运动情境相结合．
3．比较位移相等的不同运动形式的时间长短问题用v－t图象便利．
4．用图象解决追及相遇问题简洁直观，便于理解分析．
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