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双基限时练(二十)
1．下列命题中真命题是( )
A．函数的最大值肯定不是该函数的极大值
B．函数的极大值可以小于该函数的微小值
C．函数在某一闭区间上的微小值就是函数的最小值
D．函数在开区间内不存在最大值和最小值
答案 B
2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是( )
A．0≤a<1 B．0<a<1
C．－1<a<1 D．0<a<
解析 设f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
若a＝0，则f′(x)＝3x2，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)在(0,1)是增函数，
∴无最小值，排解A、C.
当a＝时，f′(x)＝3(x2－)，
令f′(x)＝0，x＝±，
∴当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)是减函数；
当x∈(，1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
∴当x＝时，f(x)有最小值，
排解D，故选B.
答案 B
3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )
A．－13 B．－15
C．10 D．15
解析 求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，
f′(x)＝－3x2＋6x，
易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
∴当m∈时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为
x＝1，
∴当n∈时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.故选A.
答案 A
4．已知f(x)＝x2－cosx，x∈，则导函数f′(x)是( )
A．仅有最小值的奇函数
B．既有最大值又有最小值的偶函数
C．仅有最大值的偶函数
D．既有最大值又有最小值的奇函数
解析 求导可得f′(x)＝x＋sinx，
明显f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，
则h(x)＝x＋sinx，求导得h′(x)＝1＋cosx，
当x∈时，h′(x)>0，
所以h(x)在上单调递增，有最大值和最小值．
所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．
答案 D
5．定义在闭区间上的函数y＝f(x)有唯一的极值点x＝x0，且y微小值＝f(x0)，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)有最小值f(x0)
B．函数f(x)有最小值，但不肯定是f(x0)
C．函数f(x)的最大值也可能是f(x0)
D．函数f(x)不肯定有最小值
解析 函数f(x)在闭区间上肯定存在最大值和最小值， 又f(x)有唯一的微小值f(x0)，则f(x0)肯定是最小值．
答案 A
6．当x∈时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为( )
A． B.
C. D．
解析 令f′(x)＝6x－4＝0，x＝，当0<x<时，f′(x)<0；当x>时，f′(x)>0，得f为微小值，也是最小值．由选项知应选C.
答案 C
7．函数f(x)＝－x3＋3x在区间上的最小值是________．
解析 f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，∴x＝±1.
f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(3)＝－18，f(－3)＝18，
∴f(x)的最小值为－18.
答案 －18
8．函数f(x)＝x2＋2ax＋1在上的最小值为f(1)，则a的取值范围为________．
解析 f′(x)＝2x＋2a.令f′(x)＝0，x＝－a，
∴若f(1)为最小值，只需－a≥1，∴a≤－1.
答案 (－∞，－1]
9．函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)，x∈，f(x)的最大值为3，最小值为－6，则a＋b＝________.
解析 f′(x)＝4ax3－12ax2.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3.
当1<x<3时，f′(x)<0；
当3<x<4时，f′(x)>0，故x＝3是微小值点．
∵f(3)＝b－27a，f(1)＝b－3a，f(4)＝b，又a>0，
∴f(x)的最小值为f(3)＝b－27a，
最大值为f(4)＝b.
∴解得∴a＋b＝.
答案
10．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在区间上的最大值．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax－3，
由f(x)在区间
则当x∈上的最大值是f(1)＝－6.
11．设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a>0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在上的最大值和最小值．
解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0.
∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴b＝－12.
又直线x－6y－7＝0的斜率为，
因此f′(1)＝3a＋b＝－6，解得a＝2.
故a＝2，b＝－12，c＝0.
(2)f(x)＝2x3－12x，
f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)．
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
↘
微小值
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)．
∵f(－1)＝10，f(3)＝18，f()＝－8；
∴当x＝时，f(x)取得最小值为－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值为18.
12．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)争辩g(x)的单调性，并求g(x)在区间上的最大值与最小值．
解 (1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，
因此g(x)＝f(x)＋f′(x)
＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
∵函数g(x)是奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，
即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－，
从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，
∴f(x)的解析式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知，g(x)＝－x3＋2x，
∴g′(x)＝－x2＋2.
令g′(x)＝0，解得x1＝－，或x2＝.
则当x<－或x>时，g′(x)<0，从而g(x)在区间(－∞，－]，[，＋∞)上是减函数；
当－<x<时，g′(x)>0，从而g(x)在上是增函数．
∴g(1)＝，g()＝，g(2)＝.
∴g(x)在区间上的最大值为g()＝，
最小值为g(2)＝.
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