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课时提升作业(二十四)
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2022·西安高一检测)下列所给函数,增长最快的是( )
A.y=5x B.y=x5
C.y=log5x D.y=5x
【解析】选D.由函数的增长差异可知y=5x增长最快.
2.下表是函数y随自变量x变化的一组数据,由此推断它最符合的函数模型是
( )
x
3
4
5
6
7
y
3.38
5.06
7.59
11.39
67.09
A.一次函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数
【解析】选C.画出图形,如图所示,随着自变量增加,函数值的增量是快速的,故为指数型函数模型,故选C.
3.依据三个函数f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=log2x给出以下命题：
(1)f(x),g(x),h(x)在其定义域上都是增函数.
(2)f(x)的增长速度始终不变.
(3)f(x)的增长速度越来越快.
(4)g(x)的增长速度越来越快.
(5)h(x)的增长速度越来越慢.
其中正确的命题个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选C.依据“直线上升、对数增长、指数爆炸”的原理可知(1)(2)(4)(5)正确.
4.(2022·长安高一检测)函数y=2x-x2的图像大致是( )
【解析】选A.当x>0时,由2x=x2可知x=2或x=4,又当x<0时,y→-∞,故选A.
【变式训练】如图所示曲线反映的是下列哪种函数的增长趋势( )
A.一次函数 B.幂函数
C.对数函数 D.指数函数
【解析】选C.由图像可知,开头增长快速,后来增长越来越慢.符合对数函数模型.
5.(2022·保定高一检测)据报道,某淡水湖的湖水在50年内削减了10%,若按此规律,设2021年的湖水量为m,从2021年起,经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )
A.y=0.9x50 B.y=(1-0.1x50)m
C.y=0.9x50m D.y=(1-0.150x)m
【解析】选C.设每年湖水量为上一年的q%,则(q%)50=0.9,所以q%=0.9150.所以x年后的湖水量为y=0.9x50m.
6.(2022·九江高一检测)四人赛跑,假设其跑过的路程和时间的函数关系分别为f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,假如他们始终跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
【解题指南】借助函数变化率的特征求解,最终跑在最前面的人具有的函数关系应为函数变化率最快的.
【解析】选D.在同一坐标系中画出函数f1(x),f2(x),f3(x),f4(x)的图像可知(图略),当x>4时从上往下依次是f4(x),f1(x),f2(x),f3(x),故选D.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2022·白鹭洲高一检测)2022年某小城市人口总数为14万,假如人口的年自然增长率把握为1.25%,则从20 年开头,该城市人口超过20万.(lg3≈0.4771,lg5≈0.6990,lg7≈0.8451)
【解析】设经过x年后,该城市人口超过20万,
故14(1+1.25%)x=20,
所以x=log1.0125107=lg107lg1.012 5=1-lg7lg(53×34×10-4)=1-lg73lg5+4lg3-4
≈1-0.845 13×0.699 0+4×0.477 1-4
=1-0.845 10.005 4≈29.
故从2041年开头,该城市人口超过20万.
答案：41
8.已知函数f(x)的图像如图,试写出一个可能的解析式： .
【解析】由图可知,该函数过点(10,3),且其增长模式类似于对数型函数,故不妨取f(x)=3lgx.
答案：f(x)=3lgx(答案不唯一)
【误区警示】本题易因对函数图像理解不透而导致无法求解.
9.(2022·泰安高一检测)某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系式为：y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,则到第7年这种动物进展到 只.
【解析】把x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得：a=100,
故函数关系式为y=100log2(x+1),
所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.
所以到第7年这种动物进展到300只.
答案：300
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.试比较函数y=x200,y=ex,y=lgx的增长差异.
【解析】增长最慢的是y=lgx,由图像(图略)可知随着x的增大,它几乎平行于x轴;当x较小时,y=x200要比y=ex增长得快;当x较大时,y=ex要比y=x200增长得快.
11.某地发生地震,世界各地纷纷捐款捐物.甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给灾区,捐款方式如下：
甲公司：在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司：在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司：在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番.
你觉得哪个公司最慷慨?
【解析】三个公司在10天内捐款状况如下表所示.
由上表可以看出,丙公司捐款最多,为102.3万元,即丙公司最慷慨.
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.已知函数f(x)=3x,g(x)=2x,当x∈R时,有( )
A.f(x)>g(x) B.g(x)>f(x)
C.f(x)≥g(x) D.g(x)≥f(x)
【解析】选A.在同始终角坐标系中画出函数f(x)=3x,g(x)=2x的图像,如图所示,
由于函数f(x)=3x的图像在函数g(x)=2x的图像的上方,则f(x)>g(x).
【变式训练】下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )
A.y=50(x∈Z) B.y=1000x
C.y=0.4·2x-1 D.y=1100 000·ex
【解析】选D.指数型函数增长速度最快,且e>2,因而ex增长最快.
2.(2022·南阳高一检测)若x∈(0,1),则下列结论正确的是( )
A.2x>x12>lgx B.2x>lgx>x12
C.x12>2x>lgx D.lgx>x12>2x
【解析】选A.当0<x<1时,2x>1,0<x12<1,lgx<0,所以2x>x12>lgx.故选A.
【举一反三】题目条件不变,则f(x)= x2,g(x)=x12,h(x)=x-2的大小关系是( )
A.h(x)<g(x)<f(x) B.h(x)<f(x)<g(x)
C.g(x)<h(x)<f(x) D.f(x)<g(x)<h(x)
【解析】选D.取特值x=12代入可排解A,B,C.
3.(2022·沈阳高一检测)如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么“红豆生南国,春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好?( )
A.指数函数：y=2t B.对数函数：y=log2t
C.幂函数：y=t3 D.二次函数：y=2t2
【解析】选A.依据散点图中数据可得t与y的对应点为(1,2),(2,4),(3,8),(4,16),(5,32)等.结合选项知选A.
【变式训练】甲乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到中点改为跑步,而乙则是先跑步到中点改为骑自行车,最终两人同时到达B地,又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,并且二人骑车速度均比跑步速度快.若某人离开A地的距离S与所用时间t的函数关系可用图像表示,则下列给出的四个函数图像中,甲、乙两人的图像只可能是( )
A.甲是图①,乙是图② B.甲是图①,乙是图④
C.甲是图③,乙是图② D.甲是图③,乙是图④
【解析】选B.由题设,两人都是到中点变换了行走方式,且同时到达目的地,由于甲骑自行车的速度较快,故其骑车用时比乙少,而跑步用时比乙多,故甲的行程关于时间的函数的单调性应为骑车时斜率比乙骑车时斜率大,跑步斜率比乙跑步斜率小,且其骑车用时比乙少,跑步用时比乙多,甲的图像是先斜率大,后斜率小,而乙的是先斜率小后斜率大,由此规律知符合甲的运行规律的图像应为①,符合乙的运行规律的图像应为④.故甲、乙两人的图像只可能甲是图①,乙是图④.故选B.
4.(2022·焦作高一检测)用固定的速度向如图外形的瓶子中注水,则水面的高度h和时间t之间的关系是( )
【解析】选B.t越来越大时,h增大得较快,而A,D是匀速增长的,瓶子应为直筒状,C表示的瓶子应是口大于底,故选B.
【误区警示】本题在求解中常因搞错高度h和时间t的关系导致错选C.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.设a=60.7,b=0.76,c=log0.76,则a,b,c的大小关系为 .(按从小到大的挨次写)
【解题指南】引入0,1两个量,比较a,b,c与0,1的大小关系.
【解析】由于c=log0.76<0<b=0.76<1<a=60.7,
所以c<b<a.
答案：c<b<a
6.某商店每月利润稳步增长,去年12月份的利润是当年1月份利润的k倍,则该商店去年每月利润的平均增长率为 .
【解析】设平均增长率为p,
则k=(1+p)11,故p=11k-1.
答案：11k-1
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x万元,甲、乙两种商品可分别获得y1,y2万元的利润,利润曲线P1：y1=axn,P2：y2=bx+c如图所示.
(1)求函数y1,y2的解析式.
(2)为使投资获得最大利润,应怎样支配投资额,才能获得最大利润?
【解析】(1)P1：y1=axn过点1,54,4,52,
54=a·1n,52=a·4n,所以a=54,n=12,
所以y1=54x12,x∈[0,+∞).
P2：y2=bx+c过点(0,0),(4,1),所以c=0,b=14,
所以y2=14x,x∈[0,+∞).
(2)设用x万元投资甲商品,那么投资乙商品为(10-x)万元,总利润为y万元.
依据题意得y=54x+14(10-x)
=-14x+54x+104
=-14x-522+6516(0≤x≤10),
当x=52即x=254=6.25时,ymax=6516,
投资乙商品为10-6.25=3.75万元.
答：用6.25万元投资甲商品,3.75万元投资乙商品,才能获得最大利润.
8.(2022·临沂高一检测)某公司为了实现1000万元利润的目标,预备制定一个激励销售部门的嘉奖方案：在销售利润达到10万元时,按销售利润进行嘉奖,且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加,但嘉奖总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%,现有三个嘉奖模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司要求?
【解题指南】嘉奖模型符合公司要求,即当x∈[10,1000]时,能够满足y≤5,且yx≤25%,可以先从函数图像得到初步的结论,再通过具体计算,确认结果.
【解析】借助计算器或计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图像如图所示：
观看图像发觉,在区间[10,1000]上模型y=0.25x,y=1.002x的图像都有一部分在y=5的上方,这说明只有按模型y=log7x+1进行嘉奖才能符合公司要求,下面通过计算确认上述推断.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上是单调递增的,当x∈(20,1000]时,y>5,因此该模型不符合要求.
对于模型y=1.002x,利用计算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x是增函数,故当x∈(806,1000]时,y>5,因此,也不符合题意.
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上单调递增且当x=1000时,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型y=log7x+1嘉奖时,奖金是否超过利润x的25%,即当x∈[10,1000]时,利用计算器或计算机作f(x)=log7x+1-0.25x的图像,由图像可知f(x)是减函数,因此f(x)<f(10)≈-0.3167<0,即log7x+1<0.25x.
所以当x∈[10,1000]时,y<0.25x.这说明,按模型y=log7x+1嘉奖不超过利润的25%.
综上所述,模型y=log7x+1的确符合公司要求.
【变式训练】下面给出f(x)随x的增大而得到的函数值表：
x
2x
x2
2x+7
log2x
1
2
1
9
0
2
4
4
11
1
3
8
9
13
1.585 0
4
16
16
15
2
5
32
25
17
2.321 9
6
64
36
19
2.585 0
7
128
49
21
2.807 4
8
256
64
23
3
9
512
81
25
3.169 9
10
1 024
100
27
3.321 9
试回答：(1)随着x的增大,各函数的函数值有什么共同的变化趋势?
(2)各函数增长的快慢有什么不同?
(3)依据以上结论,体会银行的客户存款的年利率,一般不会高于10%的实际意义.
【解析】(1)随着x的增大,各函数的函数值都在增大.
(2)各函数增长的快慢不同,其中f(x)=2x在x>3时增长最快,而且越来越快;f(x)=log2x的增长最慢,而且增长的幅度越来越小.
(3)按复利计算,存款以指数函数增长,假如年利率设置太高,存款的增长越来越快,银行将难以担当利息支出.
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