【北京特级教师-二轮复习精讲辅导】2021届高考理科数学-立体几何及空间想象能力新题赏析-课后练习一.docx

立体几何及空间想象力量新题赏析
主讲老师：程敏 北京市重点中学教研组长

题一： 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(　　)
A．0＜θ＜ B．0＜θ≤
C．0≤θ≤ D．0＜θ≤

题二： 四周体的六条棱中，有五条棱长都等于a.求该四周体的体积的最大值.

题三： 已知某球半径为R，则该球内接长方体的表面积的最大值是(　　)
A．8R2 B．6R2
C．4R2 D．2R2

题四： 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．
(1)求三棱锥A－MCC1的体积；
(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.

专题 立体几何及空间想象力量新题赏析
课后练习参考答案
题一： D.
详解：当P在D1处时，CP与BA1所成角为0，二者平行，不是异面，不符合题意；
当P在A处时，CP与BA1所成角为，∴0＜θ≤.
题二： a3.
详解： 如图，在四周体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，
取AD的中点为P，BC的中点为E，连接BP，EP，CP.得到AD⊥平面BPC，

∴VA－BCD＝VA－BPC＋VD－BPC
＝·S△APC·AP＋S△BPC·PD
＝·S△BPC·AD
＝··a ·x
＝ ≤·＝a3
.
∴该四周体的体积的最大值为a3.
题三： A.
详解： 设球内接长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则a2＋b2＋c2＝(2R)2，
所以S表＝2(ab＋bc＋ac)≤2(a2＋b2＋c2)＝8R2，当且仅当a＝b＝c＝R时，等号成立．
题四： (1) . (2) 见详解.
详解：(1)由长方体ABCD－A1B1C1D1知，
AD⊥平面CDD1C1，
∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD＝1.
又S△MCC1＝CC1×CD＝×2×1＝1，
∴VA－MCC1＝AD·S△MCC1＝.
(2)证明：将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°开放，与侧面ADD1A1共面(如图)，

当A1，M，C′共线时，A1M＋MC取得最小值．
由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M为DD1中点．
连接A1M，B1M，在△C1MC中， MC1＝，MC＝，
CC1＝2，
∴CC＝MC＋MC2，得∠CMC1＝90°，即CM⊥MC1.
又由长方体ABCD－A1B1C1D1知，B1C1⊥平面CDD1C1，
∴B1C1⊥CM.
又B1C1∩C1M＝C1，∴CM⊥平面B1C1M，得CM⊥B1M.
同理可证，B1M⊥AM.
又AM∩MC＝M，∴B1M⊥平面MAC.