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专题五 解析几何
第1讲 直线与圆
1. 充分不必要 【解析】由于两直线相互垂直,所以a·(2a-1)+(-1)·a=0,所以2a2-2a=0,所以a=0或1.
2. x-2=0或4x-3y+7=0 【解析】x2+y2-2x-4y=0化成标准式为(x-1)2+(y-2)2=5.由于截得弦长为4小于直径,故该直线必有两条且圆心到直线的距离为d==1.当斜率不存在时,l:x=2,明显符合要求.当斜率存在时,l:y-5=k(x-2),d==1,解得k=,故直线l的方程为4x-3y+7=0.
3. 2 【解析】已知A(-1,0),B(0,1),设满足PA2-PB2=4的点P的坐标为(x,y),则(x+1)2+ y2-[x2+(y-1)2]=4,即x+y-2=0,该直线与圆x2+y2=4有两个交点,所以满足条件的点P的个数为2.
4. x2+(y-1)2=1 【解析】由圆C的圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,得圆C的圆心为(0,1).又由于圆C的半径为1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.
5. 【解析】由两圆外切时圆心距等于半径和,得|a+b|=3,所以ab≤==.
6. 4± 【解析】由题意可知圆的圆心为C(1,a),半径r=2,则圆心C到直线ax+y-2=0的距离d==.由于△ABC为等边三角形,所以AB=r=2.又AB=2,所以2=2,即a2-8a+1=0,解得a=4±.
7. 【解析】设C(t≠0),故圆C:(x-t)2+=1.原题等价于存在t∈R,t≠0,圆C:(x-t)2+=1与圆x2+y2=4相交.又CO2=t2+,R1=2,R2=1,所以原题等价于存在t2>0,1<t2+<9,即又t2-t4∈,9t2-t4∈,k2>0,所以对于任意k,k2>t2-t4都有解,所以只需k2<.又k>0,所以k∈.
8. (3-2,3-2]∪[3+2,3+2)
【解析】圆C的标准方程为(x-m)2+(y-2)2=32,圆心为C(m,2),半径为4.当△ABC的面积的最大值为16时,∠ACB=90°,此时点C到AB的距离为4,所以4≤CP<4,即16≤(m-3)2+(0-2)2<32,解得2≤|m-3|<2,即m∈(3-2,3-2]∪[3+2,3+2).
9. (1) 方法一:圆的方程可化为(x-4)2+y2=10,直线可设为y=kx+2,即kx-y+2=0.
圆心M到直线的距离d=,
依题意d<,即(4k+2)2<10(k2+1),
解得-3<k<.
所以斜率k的取值范围是.
方法二:由
得(k2+1)x2+4(k-2)x+10=0,
依题意Δ=[4(k-2)]2-40(k2+1)>0,
解得-3<k<.
所以斜率k的取值范围是.
(2) 方法一:由于ON∥MP,且直线MP的斜率为-,故直线ON:y=-x.
由得N.
又N是AB中点,所以MN⊥AB,
即=-,解得k=-.
方法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则N.
由得
(k2+1)x2+4(k-2)x+10=0,
所以x1+x2=-.
又ON∥MP,且直线MP的斜率为-,
所以=-,即=-,
即=-,
所以=-,解得k=-.
方法三:点N的坐标同时满足解此方程组,消去x,y,得k=-.
10. (1) 线段AB的垂直平分线方程为x=0,
线段BC的垂直平分线方程为x+y-3=0,
所以外接圆圆心H(0,3),半径为=,
所以圆H的方程为x2+(y-3)2=10.
设圆心H到直线l的距离为d,由于直线l被圆H截得的弦长为2,所以d==3.
当直线l垂直于x轴时,明显符合题意,即x=3为所求;
当直线l不垂直于x轴时,设直线方程为y-2=k(x-3),则=3,解得k=.
综上,直线l的方程为x=3或4x-3y-6=0.
(2) 直线BH的方程为3x+y-3=0,
设P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y).
由于点M是线段PN的中点,所以M,
又M,N都在半径为r的圆C上,所以
即
由于这个关于x,y的方程组有解,即以(3,2)为圆心、r为半径的圆与以(6-m,4-n)为圆心、2r为半径的圆有公共点,所以(2r-r)2≤(3-6+m)2+(2-4+n)2≤(r+2r)2.
又3m+n-3=0,所以r2≤10m2-12m+10≤9r2对任意的m∈[0,1]恒成立.
而f(m)=10m2-12m+10在[0,1]上的值域为,所以r2≤且10≤9r2,所以≤r≤.
又线段BH与圆C无公共点,所以(m-3)2+(3-3m-2)2>r2对任意的m∈[0,1]成立,即r2<.故圆C的半径r的取值范围为.
11. (1) 由于点O到直线x-y+1=0的距离d=,
所以圆O的半径为=,故圆O的方程为x2+y2=2.
(2) 设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),
即bx+ay-ab=0.
由直线l与圆O相切,得=,
即+=.
DE2=a2+b2=2(a2+b2)≥8,
当且仅当a=b=2时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.
所以当DE长最小时,直线l的方程为x+y-2=0.
(3) 设点M(x1,y1),P(x2,y2),则N(x1,-y1),+=2,+=2,
直线MP与x轴交点为,
则m=,
直线NP与x轴交点为,
则n=,
所以mn=·===2,
故mn为定值2.
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