1、专题五解析几何第1讲直线与圆1. 充分不必要【解析】由于两直线相互垂直,所以a(2a-1)+(-1)a=0,所以2a2-2a=0,所以a=0或1.2. x-2=0或4x-3y+7=0【解析】x2+y2-2x-4y=0化成标准式为(x-1)2+(y-2)2=5.由于截得弦长为4小于直径,故该直线必有两条且圆心到直线的距离为d=1.当斜率不存在时,l:x=2,明显符合要求.当斜率存在时,l:y-5=k(x-2),d=1,解得k=,故直线l的方程为4x-3y+7=0.3. 2【解析】已知A(-1,0),B(0,1),设满足PA2-PB2=4的点P的坐标为(x,y),则(x+1)2+ y2-x2+(y
2、-1)2=4,即x+y-2=0,该直线与圆x2+y2=4有两个交点,所以满足条件的点P的个数为2.4. x2+(y-1)2=1【解析】由圆C的圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,得圆C的圆心为(0,1).又由于圆C的半径为1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.5. 【解析】由两圆外切时圆心距等于半径和,得|a+b|=3,所以ab=.6. 4【解析】由题意可知圆的圆心为C(1,a),半径r=2,则圆心C到直线ax+y-2=0的距离d=.由于ABC为等边三角形,所以AB=r=2.又AB=2,所以2=2,即a2-8a+1=0,解得a=4.7. 【解析】设C(t0),故圆C:(x-t)2+
3、=1.原题等价于存在tR,t0,圆C:(x-t)2+=1与圆x2+y2=4相交.又CO2=t2+,R1=2,R2=1,所以原题等价于存在t20,1t2+0,所以对于任意k,k2t2-t4都有解,所以只需k20,所以k.8. (3-2,3-23+2,3+2)【解析】圆C的标准方程为(x-m)2+(y-2)2=32,圆心为C(m,2),半径为4.当ABC的面积的最大值为16时,ACB=90,此时点C到AB的距离为4,所以4CP4,即16(m-3)2+(0-2)232,解得2|m-3|2,即m(3-2,3-23+2,3+2).9. (1) 方法一:圆的方程可化为(x-4)2+y2=10,直线可设为y=kx+2,即kx-y+2=0.圆心M到直线的距离d=,依题意d,即(4k+2)210(k2+1),解得-3k0,解得-3kr2对任意的m0,1成立,即r20,b0),即bx+ay-ab=0.由直线l与圆O相切,得=,即+=.DE2=a2+b2=2(a2+b2)8,当且仅当a=b=2时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.所以当DE长最小时,直线l的方程为x+y-2=0.(3) 设点M(x1,y1),P(x2,y2),则N(x1,-y1),+=2,+=2,直线MP与x轴交点为,则m=,直线NP与x轴交点为,则n=, 所以mn=2,故mn为定值2.
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