福建省四地六校2021届高三上学期第二次联考数学(文)-Word版含答案.docx

“四地六校联考”2022-2021学年上学期其次次月考
高三数学（文）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
命题人：永安一中 吴秉术 审题人：永安一中 宋建华
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2．命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的否命题是（ ）
A．若两条直线有公共点，则这两条直线不是异面直线
B．若两条直线没有公共点，则这两条直线不是异面直线
C．若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点
D．若两条直线不是异面直线，则这两条直线有公共点
3．若直线与圆交于P，Q两点，则＝（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
4. 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
A．2 B.3 C．5 D. 6
5. 若，，，则，， 的大小关系为( )
A. << B. << C. << D. <<

O
1

1

O
1

1

O
1

1

O
-1
1

6. 若，则函数与函数的图象在同一坐标系中可能是（ ）

A． B． C． D．
7.数列的前项和为，则“”是“数列为等差
数列”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（ ）
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，则
9.某几何体的三视图如图1所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ）
图1
A. 　 B. 　 C．+　 D. +2
10.若函数的导函数为，则数列
的前项和是（ ）
A．　 B. 　　 C．　　D.
11.设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，，=，则的值确定等于（ ）
A．以，为两边的三角形面积 B. 以，为邻边的平行四边形的面积
C．以，为两边的三角形面积 D. 以，为邻边的平行四边形的面积
12.若函数在定义域上可导，且其导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记作，即，当在上恒成立时，称在上是凸函数.下列函数在上不是凸函数的是（ ）
A． B.
C． D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置
13．幂函数的图象过点（2，），则实数的值为 .
14．若为双曲线的渐近线方程，则＝ .
15. 数列的通项公式，其前项和为，则= .
16.已知向量、不共线，且，若，则点的轨迹方程为 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
在等比数列中，，公比．
（Ｉ）设为的前项和，证明：；
（Ⅱ）在中，角，，所对的边分别是3，，，求的面积．

18.（本小题满分12分）
已知函数，， ．
（Ⅰ）求的对称轴；
（Ⅱ）若，求的取值范围.

19.（本小题满分12分）
已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线．
图2
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间和极值．

20.（本小题满分12分）
如图2，在三棱柱中，平面，
，，，、分别为、
的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
21.（本小题满分12分）
等差数列的前项和，数列满足．同学甲在争辩性学习中发觉以下六个等式均成立：
①； ②；
③；④；
⑤；⑥．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）试从上述六个等式中选择一个，求实数的值；
（Ⅲ）依据（Ⅱ）的计算结果，将同学甲的发觉推广为三角恒等式，并证明你的结论．

22.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，上顶点在直线上.
（Ｉ）求椭圆的方程；
（II）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点）. 点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于，两点.
（i）设直线，的斜率分别为，，问是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ii）求面积的最大值．

“四地六校联考”2022-2021学年上学期其次次月考
高三数学（文）参考答案
18.解：（Ⅰ）∵＝…………2分
…………4分
∴…………6分
由得
∴的对称轴为………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）
∵ ∴ ∴…………11分
∴.…………12分
19.解：（Ⅰ）……2分
∵曲线在点处的切线垂直于直线
　∴，∴……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则
令，解得，　　又的定义域为…………6分
当时，　∴在内为增函数…………8分
当时，　∴在内为减函数…………10分
由此知函数在处取得极大值…………12分
20.解：（Ⅰ）法一：取中点，连结，…………1分
∵，分别是，的中点
∴，且
∵，且
∴，且
∴四边形为平行四边形…………4分
∴
又∵平面，平面
∴平面…………6分
法二：取中点，连结，…………1分
则且∴四边形为平行四边形∴
又∵平面，平面∴平面…………3分
∵、分别为、的中点∴
又∵平面，平面∴平面…………4分
又∵，平面，平面
∴平面平面…………5分
又∵平面∴平面…………6分
（Ⅱ）∵，，
∴…8分
∴三棱锥的体积为…10分
…12分
21. 解：（Ⅰ）当＝1时，…………1分
当时，…………3分
∵当＝1时，适合此式 ∴数列的通项公式为…………5分
（Ⅱ）选择②，计算如下：…………6分

＝
＝＝…………8分
（Ⅲ）证明: …………9分
=……10分
=……11分
=＝…………12分
22.（I）∵上顶点在直线上，　∴…………2分
由得＝４，…………4分
∴椭圆的方程为…………5分
(II) （i）存在。…………6分
设，，则∴直线的斜率
∵ ∴直线的斜率
设直线的方程为，由题意知
由得
∴…………8分
由题意知，∴
∴直线的方程为，令，得，即
∴ ∴即
∴存在常数使得结论成立. …………10分
（ii）直线的方程，令，得，
即,由(i)知，
∴的面积为…………12分
当且仅当时等号成立，此时取得最大值，
∴面积的最大值为…………14分