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双基限时练(二十五)
基 础 强 化
1．已知0<r<＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是( )
A．外切 B．相交
C．外离 D．内含
解析 设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．两圆的圆心距离d(O，O′)＝＝.明显有|r－|<<＋r.∴两圆相交．
答案 B
2．圆x2＋y2－2x－8＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦所在直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－3＝0
解析 令两个圆的方程相减可得x－y＋1＝0，故两圆公共弦所在直线方程为x－y＋1＝0.
答案 C
3．已知圆O1：x2＋y2－4x－6y＝0与圆O2：x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线方程为( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x＋y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
解析 两圆公共弦的垂直平分线即为两圆圆心的连心线，
∵O1(2,3)，O2(3,0)，∴直线O1O2：＝，即3x＋y－9＝0.
答案 C
4．两圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是( )
A. B.
C. D. 5
解析 2r＝＝，∴r＝.
答案 B
5．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则l的方程为( )
A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0
C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0
解析 两圆的圆心分别为(0,0)和(－2,2)，它们的中点为(－1,1)，
直线l的斜率为k＝－＝1，
∴直线l的方程为x－y＋2＝0.
答案 D
6．和x轴相切，并和圆x2＋y2＝1外切的动圆的圆心轨迹方程是( )
A．x2＝2y＋1 B．x2＝－2y＋1
C．x2＝2|y|＋1 D．x2＝2y－1
解析 设动圆圆心的坐标为(x，y)，
由题意可知，＝1＋|y|，即x2＝2|y|＋1.
答案 C
7．若圆x2＋y2＝4与x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝__________.
解析 圆x2＋y2＝4与(x－a)2＋y2＝1相内切，故(a－0)2＋(0－0)2＝(2－1)2，即a2＝1，∴a＝±1.
答案 ±1
8．已知两圆相交于(1,3)和(m,1)，两圆圆心都在直线x－y＋＝0上，则m＋c的值为________．
解析 两圆连心线过公共弦的中点，
∴－＋＝0，∴m＋c＝3.
答案 3
9．圆(x－3)2＋(y－1)2＝4与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的公切线的条数为________．
解析 两圆圆心分别为(3, 1)和(1,2)，圆心距为，
r1＋r2＝3，r1－r2＝1，∵1＜＜3，∴两圆相交，
∴它们只有2条公切线．
答案 2条
能 力 提 升
10．已知集合M＝{(x，y)|x2＋y2＝16}，集合N＝{(x，y)|x2＋(y－2)2＝a－1}，若M∩N＝∅，求a的取值范围．
解 由于M∩N＝∅由题意可分为三种状况争辩：
(1)当a－1＜0，即a＜1时，N＝∅，满足M∩N＝∅；
(2)当a－1＝0，即a＝1时，N＝{(0,2)}，即集合N仅表示一个点，由02＋22＜16知这个点不在圆x2＋y2＝16上，所以M∩N＝∅；
(3)当a－1＞0，即a＞1时，M∩N＝∅，圆x2＋y2＝16与圆x2＋(y－2)2＝a－1外离或内含．外离时，圆心距大于两圆半径之和，即2＞4＋，此式明显无解．
内含时应有|－4|＞2，解得a＞37，或1＜a＜5.
综上，当a＜5，或a＞37时， M∩N＝∅.
11．求与已知圆x2＋y2－7y＋10＝0相交，所得公共弦平行于已知直线2x－3y－1＝0，且过点(－2,3)，(1,4)的圆的方程．
解 公共弦所在直线的斜率为，已知圆的圆心坐标为，故两圆圆心所在直线的方程为y－＝－x，即3x＋2y－7＝0.
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由解得
所以所求圆的方程为x2＋y2＋2x－10y＋21＝0.
12．已知点P(t，t)，t∈R，点M是圆O1：x2＋(y－1)2＝上一动点，点N是圆O2：(x－2)2＋y2＝上一动点，求|PN|－|PM|的最大值．
解 ∵M是⊙O1上的点，N是⊙O2上的点，半径都为，
又P(t，t)，t∈R在直线y＝x上，
则求|PN|－|PM|的最大值就是求－的最大值，
即求|PO2|－|PO1|＋1的最大值，
而|PO2|－|PO1|的最大值是点O1关于直线y＝x的对称点(1,0)到O2(2,0)的距离，
∴|PO2|－|PO1|＋1的最大值是2.
品 味 高 考
13．两圆C1：x2＋y2＝a与C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则a的值为________．
解析 由x2＋y2＋6x－8y－11＝0，
得(x＋3)2＋(y－4)2＝36，
从而C1(0,0)，r1＝，C2(－3,4)，r2＝6，
∵圆C1与C2内切，
∴|C1C2|＝|r2－r1|，
即5＝|6－|，
∴a＝1或121.
答案 1或121
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