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§3.3 二元一次不等式(组)与简洁的线性规划问题
3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
课时目标
1．了解二元一次不等式表示的平面区域．
2．会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．
1．二元一次不等式(组)的概念
含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式．
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
2．二元一次不等式表示的平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧全部点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．
3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定
(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的全部点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都相同．
(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
一、选择题
1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 可结合图形，依据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以C正确．
2．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．(－1,6) B．(－6,1)
C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) D．(－∞，－6)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0，
即(a＋1)(a－6)<0，∴－1<a<6.
3．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的区域为( )
答案 B
解析 不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组
(Ⅰ)
或不等式组(Ⅱ)分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.
4．不等式组表示的平面区域内整点的个数是( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
答案 C
解析 画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．
5．在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为( )
A．3＋2 B．－3＋2
C．－5 D．1
答案 D
解析 区域如图，
易求得A(－2,2)，B(a，a＋4)，
C(a，－a)．
S△ABC＝|BC|·|a＋2|＝(a＋2)2＝9，由题意得a＝1.
6．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx＋过定点.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．
由于A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点M.
当y＝kx＋过点时，＝＋，
所以k＝.
二、填空题
7．△ABC的三个顶点坐标为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．
答案
解析
如图直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出)．
直线AC的方程为2x＋y－5＝0，
直线BC的方程为x－y＋2＝0，
把(0,0)代入2x＋y－5＝－5<0，
∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.
∴同理可得△ABC区域(含边界)为.
8．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有________个．
答案 6
解析 由题意点(x，y)的坐标应满足，由图可知，整数点有(0,0)，(1,0)，(2,0)(0,1)(0,2)(1,1)6个．
9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．
答案 －1<a≤0
解析 依据题意，分以下两种状况：
①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．
则.无解．
②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，
则，∴－1<a≤0.
综上所述，－1<a≤0.
10．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．
答案
解析
如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当a从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．
又D(0,1)，B(0,2)，
E，C(－2,0)．
S四边形ODEC＝S△OBC－S△BDE＝2－＝.
三、解答题
11．利用平面区域求不等式组的整数解．
解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．
把x＝3代入6x＋7y≤50，得y≤，又∵y≥2，
∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)；
把x＝4代入6x＋7y≤50，
得y≤，
∴整点有：(4,2)(4,3)．
把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤，
∴整点有：(5,2)；
把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；
把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤，与y≥2不符．
∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．
12．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P、Q两点，且P、Q关于直线x＋y＝0对称，则不等式组表示的平面区域的面积是多少？
解 P、Q关于直线x＋y＝0对称，故PQ与直线x＋y＝0垂直，直线PQ即是直线y＝kx＋1，故k＝1；
又线段PQ为圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上，即为直线x＋y＝0，又圆心为(－，－)，
∴m＝－k＝－1，
∴不等式组为，
它表示的区域如图所示，直线x－y＋1＝0与x＋y＝0的交点为(－，)，∴S△＝×1×＝.故面积为.
力气提升
13．设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是( )
A．(1,3] B．[2,3]
C．(1,2] D．[3，＋∞)
答案 A
解析 作出不等式组表示的平面区域D，如图阴影部分所示．
由得交点A(2,9)．
对y＝ax的图象，当0<a<1时，没有点在区域D上．
当a>1，y＝ax恰好经过A点时，由a2＝9，得a＝3.
要满足题意，
需满足a2≤9，解得1<a≤3.
14．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是______________．
答案 0<a≤1或a≥
解析
不等式表示的平面区域如图所示，
当x＋y＝a过A时表示的区域是△AOB，此时a＝；
当a>时，表示区域是△AOB；
当x＋y＝a过B(1,0)时表示的区域是△DOB，此时a＝1；
当0<a<1时可表示三角形；
当a<0时不表示任何区域，当1<a<时，区域是四边形．故当0<a≤1或a≥时表示的平面区域为三角形．
1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．
2．画平面区域时，留意边界线的虚实问题．
3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不行马虎大意，常先确定x的范围，再逐一代入不等式组，求出y的范围最终确定整数解的个数．
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