资源描述
[基础达标]
1．(2021·高考山东卷)已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩∁UB＝( )
A．{3} B．{4}
C．{3，4} D．∅
解析：选A．∵U＝{1，2，3，4}，∁U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1，2，3}．
又∵B＝{1，2}，∴{3}⊆A⊆{1，2，3}．
又∁UB＝{3，4}，∴A∩∁UB＝{3}．
2．(2022·安徽合肥市质量检测)已知集合A＝{x∈R||x|≥2}，B＝{x∈R|x2－x－2＜0}，且R为实数集，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝R B．A∩B≠∅
C．A⊆(∁RB) D．A⊇(∁RB)
解析：选C．集合A＝{x|x≥2或x≤－2}，B＝{x|－1＜x＜2}，所以A⊆(∁RB)．
3．已知集合A＝{1，10，}，B＝{y|y＝lg x，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{} B．{10}
C．{1} D．∅
解析：选C．∵B＝{y|y＝lg x，x∈A}＝{y|y＝lg 1，y＝lg 10，y＝lg }＝{0，1，－1}，∴A∩B＝{1}．
4．(2022·湖北省八校联考)已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有( )
A．1个 B．2个
C．4个 D．8个
解析：选B．|a|≥2⇒a≥2或a≤－2.又a∈M，(a－2)(a2－3)＝0⇒a＝2或a＝±(舍)，即A中只有一个元素2，故A的子集只有2个．
5．(2022·湖北武汉市武昌区考试)已知全集U＝R，集合A＝{x|lg(x＋1)≤0}，B＝{x|3x≤1}，则∁U(A∩B)＝( )
A．(－∞，0)∪(0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－1]∪(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
解析：选C．lg(x＋1)≤0⇒0＜x＋1≤1⇒－1＜x≤0，3x≤1⇒x≤0，则A∩B＝(－1，0]，∁U(A∩B)＝(－∞，－1]∪(0，＋∞)．
6．已知集合A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．
解析：∵1∉{x|x2－2x＋a＞0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.
答案：(－∞，1]
7．已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁UA)＝∅，则m＝________．
解析：A＝{－1，2}，B＝∅时，m＝0；B＝{－1}时，m＝1；B＝{2}时，m＝－.
答案：0，1，－
8．(2022·高考天津卷)已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．
解析：A＝{x∈R||x＋2|＜3}＝{x∈R|－5＜x＜1}，
由A∩B＝(－1，n)可知m＜1，
则B＝{x|m＜x＜2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.
答案：－1 1
9．集合A＝{x|－2＜x＜－1或x＞1}，集合B＝{x|a≤x＜b}，A∪B＝{x|x＞－2}，A∩B＝{x|1＜x＜3}，求实数a，b的值．
解：∵A∩B＝{x|1＜x＜3}，∴b＝3.
又A∪B＝{x|x＞－2}，
∴－2＜a≤－1.
又A∩B＝{x|1＜x＜3}，
∴－1≤a＜1，
∴a＝－1.
10．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若B⊆A，求实数a组成的集合C．
解：由x2－8x＋15＝0，得x＝3或x＝5.
∴A＝{3，5}．
(1)当a＝时，由x－1＝0，得x＝5.
∴B＝{5}，∴BA．
(2)∵A＝{3，5}且B⊆A，
∴若B＝∅，则方程ax－1＝0无解，有a＝0.
若B≠∅，则a≠0，
由方程ax－1＝0，得x＝，
∴＝3或＝5，即a＝或a＝，
∴C＝.
[力气提升]
1．(2022·河南洛阳市考试)已知集合A＝{x|≤0，x∈N}，B＝{x|≤2，x∈Z}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选D．由≤0得0＜x≤2，因此A＝{1，2}；由≤2得0≤x≤4，因此B＝{0，1，2，3，4}，满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数是23＝8.
2．(2022·河南省三市高三其次次调研)设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝( )
A．(X∪Y)∩∁UZ B．(X∩Y)∪∁UZ
C．(∁UX∪∁UY)∩Z D．(∁UX∩∁UY)∪Z
解析：选B．依题意得(X*Y)＝∁U(X∩Y)＝(∁UX)∪(∁UY)，(X*Y)*Z＝∁U[(X*Y)∩Z]＝∁U[∁U(X∩Y)∩Z]＝{∁U[∁U(X∩Y)]}∪∁UZ＝(X∩Y)∪∁UZ.
3．已知全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝，则∁UA＝________．
解析：由于A＝，
当n＝0时，x＝－2；n＝1时不合题意；
n＝2时，x＝2；n＝3时，x＝1；
n≥4时，x∉Z；n＝－1时，x＝－1；
n≤－2时，x∉Z.
故A＝{－2，2，1，－1}，
又U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁UA＝{0}．
答案：{0}
4．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：
①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；
②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中正确结论的序号是________．
解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以不正确；
②中设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；
③令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．
答案：②
5．(2022·河北衡水模拟)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
(1)求(∁IM)∩N；
(2)记集合A＝(∁IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，
N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，
∴∁IM＝{x|x∈R且x≠－3}，
∴(∁IM)∩N＝{2}．
(2)A＝(∁IM)∩N＝{2}，
∵A∪B＝A，∴B⊆A，
∴B＝∅或B＝{2}，
当B＝∅时，a－1＞5－a，得a＞3；
当B＝{2}时，，解得a＝3，
综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．
6．(选做题)已知集合A＝{x|x2－6x＋8＜0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a)＜0}．
(1)若A⊆B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围；
(3)若A∩B＝{x|3＜x＜4}，求a的取值范围．
解：∵A＝{x|x2－6x＋8＜0}，∴A＝{x|2＜x＜4}．
(1)若A⊆B，
当a＝0时，B＝∅，明显不成立；
当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，
应满足⇒≤a≤2；
当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，
应满足此时不等式组无解，
∴当A⊆B时，a的取值范围是[，2]．
(2)∵要满足A∩B＝∅，
当a＝0时，B＝∅满足条件；
当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，a≥4或3a≤2.
∴0＜a≤或a≥4；
当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}．
∴a＜0时成立，
综上所述，a的取值范围是(－∞，]∪[4，＋∞)．
(3)要满足A∩B＝{x|3＜x＜4}，明显a＝3.
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