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课时提升作业(一)
一、选择题
1.已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A⊆B,则a等于 ( )
(A)1 (B)0 (C)-2 (D)-3
2.(2021·广州模拟)设全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|0≤x<5},则集合(A)∩B= ( )
(A){x|0<x<2} (B){x|0≤x<2}
(C){x|0<x≤2} (D){x|0≤x≤2}
3.(2021·汕头模拟)若集合M={x|-2<x<3},N={y|y=x2+1,x∈R},则集合M∩N=
( )
(A)(-2,+∞) (B)(-2,3)
(C)[1,3) (D)R
4.(2021·广东六校联考)已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,-2}和N={x|x2+2x>0}关系的韦恩(Venn)图是 ( )
5.(2021·重庆模拟)设全集U=R,A={x|y=},B={y|y=2x,x∈R},则A∪B=
( )
(A){x|x≥0} (B){x|0<x≤1}
(C){x|1<x≤2} (D){x|x>2}
6.(2021·杭州模拟)已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则M∩N=
( )
(A)(0,1),(1,2) (B){(0,1),(1,2)}
(C){y|y=1或y=2} (D){y|y≥1}
7.已知集合M={x|y=},N={x|y=log2(x-2x2)},则(M∩N)= ( )
(A)(,) (B)(-∞,)∪[,+∞)
(C)[0,] (D)(-∞,0]∪[,+∞)
8.设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合E={x|x2-3x+2=0,x∈R},F={x|cos=0,x∈R},则(E)∩F= ( )
(A){-3,-1,0,3} (B){-3,-1,3}
(C){-3,-1,1,3} (D){-3,3}
9.已知集合A={x|x2+x+1=0},若A∩R=⌀,则实数m的取值范围是 ( )
(A)m<4 (B)m>4
(C)0≤m<4 (D)0≤m≤4
10.如图所示,A,B是非空集合,定义集合A#B为阴影部分表示的集合.若x,y∈R,A={x|y=},B={y|y=3x,x>0},则A#B为 ( )
(A){x|0<x<2} (B){x|1<x≤2}
(C){x|0≤x≤1或x≥2} (D){x|0≤x≤1或x>2}
二、填空题
11.已知集合A={x∈N|∈N},则集合A的全部子集是 .
12.已知A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},B≠⌀,且B⊆A,则m的取值范围是 .
13.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若A∪B=R,A∩B={x|3<x≤4},则a+b的值等于 .
14.(力气挑战题)设S为复数集C的非空子集.若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题:
①集合S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}为封闭集;
②若S为封闭集,则确定有0∈S;
③封闭集确定是无限集;
④若S为封闭集,则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集.
其中真命题有 (写出全部真命题的序号).
三、解答题
15.(力气挑战题)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},
B={x|x2+(m+1)x+m=0},
若(A)∩B=⌀,求m的值.
16.(2021·温州模拟)设全集是实数集R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0},
(1)当a=-4时,求A∩B和A∪B.
(2)若(A)∩B=B,求实数a的取值范围.
答案解析
1.【解析】选C.依据A⊆B,则只能是a+3=1,即a=-2.
2.【解析】选B.∵A={x|x≥2},U=R,
∴A={x|x<2}.
又B={x|0≤x<5},
∴(A)∩B={x|x<2}∩{x|0≤x<5}
={x|0≤x<2}.
3.【解析】选C.∵y=x2+1≥1,
∴N={y|y≥1}.
又M={x|-2<x<3},
∴M∩N={x|1≤x<3}.
4.【解析】选C.N={x|x2+2x>0}
={x|x>0或x<-2},
又M={-1,0,-2},
∴M∩N=⌀且M⊆(N).
5.【解析】选A.集合A={x|0≤x≤2},B={y|y>0},
∴A∪B={x|x≥0}.
6.【解析】选D.集合M=[1,+∞),N=(-∞,+∞),所以M∩N=M.
7.【解析】选B.集合M,N都是函数的定义域,其中M=[,+∞),N=(0,),所以M∩N=[,),其在实数集中补集(M∩N)=(-∞,)∪[,+∞).
8.【解析】选B.E={1,2},E={-3,-2,-1,0,3},
F={…,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,…},
所以(E)∩F={-3,-1,3}.
9.【解析】选C.本题的实质是:在有意义的前提下,方程x2+x+1=0没有实数根.故m≥0且()2-4<0,即0≤m<4.
10.【解析】选D.由2x-x2≥0得0≤x≤2,∴A={x|0≤x≤2}.由x>0得3x>1,
∴B={y|y>1},∴A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1<x≤2},令U=A∪B,则A#B=
(A∩B)={x|0≤x≤1或x>2}.
11.【思路点拨】由为自然数,知6-x应为8的正约数,从而确定x的值,再用列举法求解.
【解析】由题意可知6-x是8的正约数,所以6-x可以是1,2,4,8;相应的x可为5,4,2,即A={2,4,5}.
∴A的全部子集为⌀,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5},{2,4,5}.
答案:⌀,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5},{2,4,5}
12.【解析】由题设知解之得,2≤m≤3.
答案:[2,3]
13.【解析】A={x|x<-1或x>3},
∵A∪B=R,A∩B={x|3<x≤4},
∴B={x|-1≤x≤4},
∴a=-(-1+4)=-3,b=(-1)×4=-4,
∴a+b=-7.
答案:-7
14.【解析】设x=a1+b1i,y=a2+b2i,a1,b1,a2,b2为整数,
则x+y=(a1+a2)+(b1+b2)i,
x-y=(a1-a2)+(b1-b2)i,
xy=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,
由于a1,b1,a2,b2为整数,
故a1±a2,b1±b2,a1a2-b1b2,a1b2+a2b1都是整数,
所以x+y,x-y,xy∈S,
故集合S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}为封闭集,①是真命题;若S是封闭集,且x=y∈S,则依据封闭集的定义,x-y=x-x=0∈S,故命题②正确;集合S={0},明显是封闭集,故封闭集不愿定是无限集,命题③不正确;集合S={0}⊆{0,1}=T⊆C,简洁验证集合T不是封闭集,故命题④不是真命题.
答案:①②
【方法技巧】集合新定义问题的解题技巧
这种新定义的题目关键就是抓住新定义的本质,紧扣新定义进行推理论证,本题中就是依据封闭集满足其集合中的任意两个元素的和、差、积还是这个集合中的元素.推断一个元素是不是集合中的元素,就看这个元素是否符合集合中代表元素的特征.
15.【思路点拨】求出集合A,依据集合的运算,得出集合的关系,转化为元素的关系求解.
【解析】方法一:A={-2,-1},
由(A)∩B=⌀得B⊆A,
∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式:
Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠⌀,
∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.
①若B={-1},则m=1;
②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,
∴B≠{-2};
③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.
经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.
方法二:本题集合B中的方程的根是x1=-1,x2=-m.
当-m≠-1时集合B={-1,-m},此时只能A=B,即m=2;当-m=-1时集合B={-1},此时集合B是集合A的真子集,也符合要求.∴m=1或2.
【变式备选】设A={x|x2+4x=0},
B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},
其中x∈R,假如A∩B=B,求实数a的取值范围.
【解析】由A∩B=B得B⊆A,而A={-4,0},
Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8,
当Δ=8a+8<0,即a<-1时,B=⌀,符合B⊆A;
当Δ=8a+8=0,即a=-1时,B={0},符合B⊆A;
当Δ=8a+8>0,即a>-1时,B中有两个元素,而B⊆A={-4,0};
∴B={-4,0}得a=1.∴a=1或a≤-1.
16.【思路点拨】(1)先解不等式,求出解集,再求出交集与并集.
(2)依据集合的运算性质转化为集合的关系,通过对a的取值进行分状况争辩求解.
【解析】A中:2x2-7x+3≤0,得≤x≤3,即A=[,3],
(1)当a=-4时,B中x2-4<0得-2<x<2,B=(-2,2),
∴A∩B=[,2),A∪B=(-2,3].
(2)若(A)∩B=B,则B⊆(A),
由题意得A=(-∞,)∪(3,+∞).
∴①当a≥0时,B=⌀,符合B⊆(A);
②当a<0时,B=(-,),由B⊆(A)得≤,从而-≤a<0;
综合①②得a∈[-,+∞).
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