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双基限时练(三)
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴垂直
C．与x轴平行 D．与x轴平行或重合
答案 D
2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )
A. 2 B. 1
C. D.
解析 s′＝ ＝
＝ ＝ (t＋Δt)＝t.
∴当t＝2时，s′＝.
答案 C
3．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A．h′(a)<0 B．h′(a)>0
C．h′(a)＝0 D．h′(a)的符号不定
解析 由2x＋y＋1＝0，得h′(a)＝－2<0.
∴h′(a)<0.
答案 A
4．曲线y＝在点(3,3)处的切线方程的倾斜角α等于( )
A．45° B．60°
C．135° D．120°
解析 k＝y′＝ ＝
＝ ＝－.
∴当x＝3时，tanα＝－1.∴α＝135°.
答案 C
5．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C．(，) D．(，)
解析 y′＝ ＝
＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
令2x＝tan＝1，∴x＝，y＝.
故所求的点是(，)．
答案 D
6．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则过点A的切线的斜率为________．
解析 k＝f′(2)＝
＝ ＝ (8＋2Δx)＝8.
答案 8
7．若函数f(x)在x0处的切线的斜率为k，则极限 ＝________.
解析
＝－ ＝－k.
答案 －k
8．已知函数f(x)在区间[0,3]上图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f′(3)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)
解析 由f(x)的图象及导数的几何意义知，k1>k2>k3.
答案 k1>k2>k3
9．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．
解 ∵f′(1)＝ ＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k，则4k＝－1，k＝－.
∴所求的直线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋4y－9＝0.
10．已知曲线y＝上两点P(2，－1)，Q.求：
(1)曲线在点P处、点Q处的切线的斜率；
(2)曲线在点P，Q处的切线方程．
解 将P(2，－1)代入y＝得t＝1，∴y＝.
∴y′＝ ＝ ＝ ＝.
(1)曲线在点P处的切线的斜率为y′|x＝2＝＝1；
曲线在点Q处的切线的斜率为y′|x＝－1＝＝.
(2)曲线在点P处的切线方程为
y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.
曲线在点Q处的切线方程为
y－＝(x＋1)，即x－4y＋3＝0.
11．已知点M(0，－1)，F(0,1)，过点M的直线l与曲线y＝x3－4x＋4在x＝2处的切线平行．
(1)求直线l的方程；
(2)求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程．
解 (1)∵f′(2)＝
＝0，
∴直线l的斜率为0，其直线方程为y＝－1.
(2)∵抛物线以点F(0,1)为焦点，y＝－1为准线，∴设抛物线的方程为x2＝2py，则－＝－1，p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y.
12．已知曲线y＝x2＋1，问是否存在实数a，使得经过点(1，a)能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解 存在．
理由如下：
∵y＝x2＋1，
∴y′＝ ＝ ＝
＝2x.
设切点坐标为(t，t2＋1)，
∵y′＝2x，∴切线的斜率为k＝y′|x＝t＝2t.
于是可得切线方程为y－(t2＋1)＝2t(x－t)．
将(1，a)代入，得a－(t2＋1)＝2t(1－t)，
即t2－2t＋a－1＝0.
∵切线有两条，∴方程有两个不同的解．
故Δ＝4－4(a－1)>0.∴a<2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．
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