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学案11 带电粒子在电场中的运动
[学习目标定位] 1.把握带电粒子在电场中加速和偏转所遵循的规律.2.知道示波管的主要构造和工作原理．
一、带电粒子的加速
如图1所示，质量为m、带正电荷q的粒子，在电场力作用下由静止开头从正极板运动到负极板过程中，电场力对它做的功W＝qU，由动能定理可知W＝qU＝mv2，可以求出粒子到达负极板时的速度v＝ .
图1
二、带电粒子的偏转
带电粒子的电荷量为q、质量为m，以速度v0垂直电场线射入两极板间的匀强电场．板长为l、板间距离为d，两极板间的电势差为U.
(1)粒子在v0方向上做匀速直线运动，穿越两极板的时间为.
(2)粒子在垂直于v0的方向上做初速度为0的匀加速直线运动，加速度为a＝.
三、示波管的原理
1．示波管是示波器的核心部件，由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，管内抽成真空．
2．如图2所示，电子枪中放射出来的电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如在电极YY′之间加一
个待显示的信号电压，XX′偏转电极通常接入仪器自身产生的锯齿形电压，叫做扫描电压．假如信号电压和扫描电压的周期相同，就可以在荧光屏上得到待测信号在一个周期内随时间变化的稳定图象．
图2
一、带电粒子的加速
[问题设计]
在真空中有一对平行金属板，由于接在电池组上而带电，两板间的电势差为U.若一个质量为m、带正电荷q的α粒子，在电场力的作用下由静止开头从正极板向负极板运动，板间距为d.
(1)带电粒子在电场中受哪些力作用？重力能否忽视不计？
(2)粒子在电场中做何种运动？
(3)计算粒子到达负极板时的速度？
答案 (1)受重力和电场力；因重力远小于电场力，故可以忽视重力．
(2)做初速度为0、加速度为a＝的匀加速直线运动．
(3)方法1 在带电粒子的运动过程中，电场力对它做的功是W＝qU
设带电粒子到达负极板时的速率为v，其动能可以写为Ek＝mv2
由动能定理可知mv2＝qU
于是求出v＝
方法2 设粒子到达负极板时所用时间为t，则
d＝at2
v＝at
a＝
联立解得v＝
[要点提炼]
1．电子、质子、α粒子、离子等微观粒子，它们的重力远小于电场力，处理问题时可以忽视它们的重力．带电小球、带电油滴、带电颗粒等，质量较大，处理问题时重力不能忽视．
2．带电粒子仅在电场力作用下加速，若初速度为零，则qU＝mv2；若初速度不为零，则qU＝mv2－mv.
[延长思考] 若是非匀强电场，如何求末速度？
答案 由动能定理得qU＝mv2，故v＝ .
二、带电粒子的偏转
[问题设计]
如图3所示，两平行板间存在方向竖直向下的匀强电场，电荷量为q的粒子以速度v0水平射入两极板间，不计粒子的重力．
图3
(1)粒子受力状况怎样？做什么性质的运动？
(2)若板长为l，板间电压为U，板间距为d，粒子质量为m，电荷量为q，求粒子的加速度和通过电场的时间．
(3)当粒子离开电场时，粒子水平方向和竖直方向的速度分别为多大？合速度与初速度方向的夹角θ的正切值为多少？
(4)粒子沿电场方向的偏移量y为多少？
(5)速度的偏转角与位移和水平方向的夹角是否相同？
答案 (1)粒子受电场力的作用，其方向和速度方向垂直且竖直向下．粒子在水平方向做匀速直线运动，在电场力方向做初速度为零的匀加速直线运动，其合运动类似于平抛运动．
(2)a＝＝ t＝
(3)vx＝v0
vy＝at＝
tan θ＝＝
(4)y＝at2＝.
(5)不同．
速度偏转角tan θ＝
位移和水平方向的夹角tan α＝＝
所以tan θ＝2tan α.
[要点提炼]
1．运动状态分析：带电粒子(不计重力)以初速度v0垂直于电场线方向飞入匀强电场时，受到恒定的与初速度方向垂直的电场力作用而做匀变速曲线运动．
2．偏转问题的分析处理方法：与平抛运动类似，即应用运动的合成与分解的学问分析处理．
3．两个特殊结论
(1)粒子射出电场时速度方向的反向延长线过水平位移的中点，即粒子就像是从极板间 处射出一样．
(2)速度偏转角θ的正切值是位移和水平方向夹角α的正切值的2倍，即：tan θ＝2tan α.
[延长思考] 有一束质子和α粒子流，由静止经过同一电场加速，再经过同一电场偏转，是否可以把它们分开？
答案 不行以．它们的偏转位移和偏转角与电荷量和质量无关且都相同，故分不开．
一、带电粒子在电场中的加速运动
例1 如图4所示，在点电荷＋Q激发的电场中有A、B两点，将质子和α粒子分别从A点由静止释放到达B点时，它们的速度大小之比为多少？
图4
解析 质子和α粒子都带正电，从A点释放都将受电场力作用加速运动到B点，设A、B两点间的电势差为U，由动能定理可知，对质子：mHv＝qHU，对α粒子：mαv＝qαU.
所以＝ ＝ ＝.
答案 ∶1
针对训练1 如图5所示，电子由静止开头从A板向B板运动，到达B板的速度为v，保持两板间的电压不变，则( )
图5
A．当增大两板间的距离时，速度v增大
B．当减小两板间的距离时，速度v减小
C．当减小两板间的距离时，速度v不变
D．当减小两板间的距离时，电子在两板间运动的时间增大
答案 C
解析 由动能定理得eU＝mv2.当转变两板间的距离时，U不变，v就不变，故A、B项错误，C项正确；粒子做初速度为零的匀加速直线运动，＝，＝，即t＝，当d减小时，电子在板间运动的时间减小，故D项错误．
二、带电粒子在电场中的偏转运动
例2 如图6为一真空示波管的示意图，电子从灯丝K发出(初速度可忽视不计)，经灯丝与A板间的电压U1加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中(偏转电场可视为匀强电场)，电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点．已知M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子受到的重力及它们之间的相互作用力．
图6
(1)求电子穿过A板时速度的大小；
(2)求电子从偏转电场射出时的侧移量；
(3)若要电子打在荧光屏上P点的上方，可实行哪些措施？
解析 (1)设电子经电压U1加速后的速度为v0，由动能定理有eU1＝mv
解得v0＝ .
(2)电子沿极板方向做匀速直线运动，沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动．设偏转电场的电场强度为E，电子在偏转电场中运动的时间为t，加速度为a，电子离开偏转电场时的侧移量为y.由牛顿其次定律和运动学公式有t＝
a＝
y＝at2
解得y＝.
(3)减小加速电压U1或增大偏转电压U2.
答案 (1) (2) (3)见解析
针对训练2 一束电子流经U＝5 000 V的加速电压加速后，在与两极板等距处垂直进入平行板间的匀强电场，如图7所示，若两板间距d＝1.0 cm，板长l＝5 cm，那么要使电子能从平行极板间的边缘飞出，则两个极板上最多能加多大电压？
图7
答案 400 V
解析 在加速电压U确定时，偏转电压U′越大，电子在极板间的侧移量就越大．当偏转电压大到使电子刚好擦着极板的边缘飞出时，此时的偏转电压即为题目要求的最大电压．
1．(带电粒子在电场中的加速)两平行金属板相距为d，电势差为U，一电子质量为m，电荷量为e，从O点沿垂直于极板的方向射出，最远到达A点，然后返回，如图8所示，OA＝h，则此电子具有的初动能是( )
图8
A. B．edUh
C. D.
答案 D
解析 电子从O点运动到A点，因受电场力作用，速度渐渐减小．依据题意和题图推断，电子仅受电场力，不计重力．这样，我们可以用能量守恒定律来争辩问题，即mv＝eUOA.因E＝，UOA＝Eh＝，故mv＝.所以D正确．
2．(带电粒子在电场中的偏转)一束正离子以相同的速率从同一位置垂直于电场方向飞入匀强电场中，全部离子的轨迹都是一样的，这说明全部离子( )
A．都具有相同的质量
B．都具有相同的电荷量
C．具有相同的比荷
D．都是同一元素的同位素
答案 C
解析 轨迹相同的含义为：偏转位移、偏转角度相同，即这些离子通过电场时轨迹不分叉．
tan θ＝＝，所以这些离子只要有相同的比荷，轨迹便相同，故只有C正确．
3．(对示波管原理的生疏)如图9是示波管的原理图．它由电子枪、偏转电极(XX′和YY′)、荧光屏组成，管内抽成真空．给电子枪通电后，假如在偏转电极XX′和YY′上都没有加电压，电子束将打在荧光屏的中心O点．
图9
(1)带电粒子在________区域是加速的，在________区域是偏转的．
(2)若UYY′＞0，UXX′＝0，则粒子向________板偏移，若UYY′＝0，UXX′＞0，则粒子向________板偏移．
答案 (1)Ⅰ Ⅱ (2)Y X
题组一 带电粒子在电场中的加速运动
1.如图1所示，在匀强电场E中，一带电粒子(不计重力)－q的初速度v0恰与电场线方向相同，则带电粒子－q在开头运动后，将( )
图1
A．沿电场线方向做匀加速直线运动
B．沿电场线方向做变加速直线运动
C．沿电场线方向做匀减速直线运动
D．偏离电场线方向做曲线运动
答案 C
解析 在匀强电场E中，带电粒子所受静电力为恒力．带电粒子受到与运动方向相反的恒定的电场力作用，产生与运动方向相反的恒定的加速度，因此，带电粒子－q在开头运动后，将沿电场线做匀减速直线运动．
2.如图2所示，M和N是匀强电场中的两个等势面，相距为d，电势差为U，一质量为m(不计重力)、电荷量为－q的粒子，以速度v0通过等势面M射入两等势面之间，则该粒子穿过等势面N的速度应是( )
图2
A.
B．v0＋
C.
D.
答案 C
解析 qU＝mv2－mv，v＝，选C.
3.如图3所示P和Q为两平行金属板，板间电压为U，在P板四周有一电子由静止开头向Q板运动，关于电子到达Q板时的速率，下列说法正确的是( )
图3
A．两板间距离越大，加速时间越长，获得的速率就越大
B．两板间距离越小，加速度越大，获得的速率就越大
C．与两板间距离无关，仅与加速电压U有关
D．以上说法都不正确
答案 C
题组二 带电粒子在电场中的偏转运动
4．某同学设计了一种静电除尘装置，如图4甲所示，其中有一长为L、宽为b、高为d的矩形通道，其前、后面板为绝缘材料，上、下面板为金属材料．图乙是装置的截面图，上、下两板与电压恒定为U的高压直流电源相连．带负电的尘埃被吸入矩形通道的水平速度为v0，当遇到下板后其所带电荷被中和，同时被收集．将被收集尘埃的数量与进入矩形通道尘埃的数量的比值，称为除尘率．不计尘埃的重力及尘埃之间的相互作用．要增大除尘率，则下列措施可行的是( )
甲 乙
图4
A．只增大电压U
B．只增大长度L
C．只增大高度d
D．只增大尘埃被吸入的水平速度v0
答案 AB
解析 增大除尘率即是让离下极板较远的粒子落到下极板上，带电尘埃在矩形通道内做类平抛运动，在沿电场的方向上的位移y＝()2，由此可知，增大U、增大L、减小d或减小v0均可增大除尘率，所以A、B正确、C、D错误．
5.如图5所示，a、b两个带正电的粒子，以相同的速度先后垂直于电场线从同一点进入平行板间的匀强电场后，a粒子打在B板的a′点，b粒子打在B板的b′点，若不计重力，则( )
图5
A．a的电荷量确定大于b的电荷量
B．b的质量确定大于a的质量
C．a的比荷确定大于b的比荷
D．b的比荷确定大于a的比荷
答案 C
解析 粒子在电场中做类平抛运动，h＝()2得：x＝v0 .由v0 ＜v0 得＞.
6.如图6所示，有一带电粒子贴着A板沿水平方向射入匀强电场，当偏转电压为U1时，带电粒子沿①轨迹从两板正中间飞出；当偏转电压为U2时，带电粒子沿②轨迹落到B板中间；设粒子两次射入电场的水平速度相同，则两次偏转电压之比为( )
图6
A．U1∶U2＝1∶8 B．U1∶U2＝1∶4
C．U1∶U2＝1∶2 D．U1∶U2＝1∶1
答案 A
解析 由y＝at2＝··得：
U＝，所以U∝，可知A项正确．
7.如图7所示，矩形区域ABCD内存在竖直向下的匀强电场，两个带正电的粒子a和b以相同的水平速度射入电场，粒子a由顶点A射入，从BC的中点P射出，粒子b由AB的中点O射入，从顶点C射出．若不计重力，则a和b的比荷(即粒子的电荷量与质量之比)之比是( )
图7
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶8 D．8∶1
答案 D
解析 a粒子和b粒子在水平方向均做速度为v的匀速直线运动，分别有xBP＝vta，xBC＝vtb，且2xBP＝xBC，故2ta＝tb；在竖直方向上，分别有xAB＝××t，xOB＝××t，且xAB＝2xOB，解得a和b的比荷之比为∶＝8∶1.
8.如图8所示，一束不同的带正电的粒子(不计重力)，垂直电场线进入偏转电场，若使它们经过电场区域时偏转距离y和偏转角θ都相同，应满足( )
图8
A．具有相同的动能
B．具有相同的速度
C．具有相同的
D．先经同一电场加速，然后再进入偏转电场
答案 D
解析 带电粒子进入偏转电场的过程中，其偏转距离为：
y＝at2＝2＝，
偏转角θ满足tan θ＝＝＝.
由此知，若动能相等，q不同，则不能满足要求，A错误；若速度相同，不同，则不能满足要求，B错误；同样地，若相同，v0不同也不能满足要求，C错误；若经过相同电场加速，满足qU1＝mv，则y＝，tan θ＝，y、tan θ均与v0、Ek、q、m无关，D正确．
9.真空中的某装置如图9所示，其中平行金属板A、B之间有加速电场，C、D之间有偏转电场，M为荧光屏．今有质子、氘核和α粒子均由A板从静止开头被加速电场加速后垂直于电场方向进入偏转电场，最终打在荧光屏上．已知质子、氘核和α粒子的质量之比为1∶2∶4，电荷量之比为1∶1∶2，则下列推断中正确的是( )
图9
A．三种粒子从B板运动到荧光屏经受的时间相同
B．三种粒子打到荧光屏上的位置相同
C．偏转电场的电场力对三种粒子做功之比为1∶2∶2
D．偏转电场的电场力对三种粒子做功之比为1∶2∶4
答案 B
解析 粒子加速过程qU1＝mv2，从B至M用时t＝，得t∝ ，所以t1∶t2∶t3＝1∶∶，选项A错误．偏转位移y＝()2＝，所以三种粒子打到荧光屏上的位置相同，选项B正确．因W＝qEy，得W1∶W2∶W3＝q1∶q2∶q3＝1∶1∶2，选项C、D错误．
题组三 综合应用
10．一个初动能为Ek的带电粒子以速度v垂直电场线方向飞入两块平行金属板间，飞出时动能为3Ek.假如这个带电粒子的初速度增加到原来的2倍，不计重力，那么该粒子飞出时动能为( )
A．4Ek B．4.5Ek
C．6Ek D．9.5Ek
答案 B
解析 带电粒子做类平抛运动，平行于极板方向的速度增加到原来的2倍，带电粒子通过电场的时间变为原来的，沿电场方向的位移变为原来的，电场力做功变为原来的.
由动能定理得ΔEk′＝qE·y′＝yqE
原速飞过时由动能定理有ΔEk＝3Ek－Ek＝qEy
而ΔEk′＝Ek末′－4Ek
解得Ek末′＝4.5 Ek.
11.如图10所示，水平放置的平行板电容器，上板带负电，下板带正电，带电小球以速度v0水平射入电场，且沿下板边缘飞出．若下板不动，将上板上移一小段距离，小球仍以相同的速度v0从原处飞入，则带电小球( )
图10
A．将打在下板中心
B．仍沿原轨迹由下板边缘飞出
C．不发生偏转，沿直线运动
D．若上板不动，将下板上移一段距离，小球可能打在下板的中心
答案 BD
解析 将电容器上板或下板移动一小段距离，电容器带电荷量不变，由公式E＝＝＝可知，电容器产生的场强不变，以相同速度入射的小球仍将沿原轨迹运动．当上板不动，下板向上移动时，小球可能打在下板的中心．
12．一个初速度为零的电子通过电压为U的电场加速后，从C点沿水平方向飞入电场强度为E的匀强电场中，到达该电场中另一点D时，电子的速度方向与电场强度方向的夹角正好是120°，如图11所示．试求C、D两点沿电场强度方向的距离y.
图11
答案
解析 电子加速过程：由eU＝mv得v0＝
在坚直方向vy＝v0tan30°＝at，a＝
得t＝
CD两点沿场强方向的距离y＝at2＝
13．一束电子从静止开头经加速电压U1加速后，以水平速度射入水平放置的两平行金属板中间，如图12所示，金属板长为l，两板距离为d，竖直放置的荧光屏距金属板右端为L.若在两金属板间加直流电压U2时，光点偏离中线打在荧光屏上的P点，求.
图12
答案 (＋L)
解析 电子经U1的电场加速后，由动能定理可得
eU1＝ ①
电子以v0的速度进入U2的电场并偏转
t＝ ②
E＝ ③
a＝ ④
v⊥＝at ⑤
由①②③④⑤得射出极板的偏转角θ的正切值tan θ＝＝.
所以＝(＋L)tan θ＝(＋L)．
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