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第3讲 平行关系
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若直线ɑ平行于平面α，则下列结论错误的是 ( )
A．ɑ平行于α内的全部直线
B．α内有很多条直线与ɑ平行
C．直线ɑ上的点到平面α的距离相等
D．α内存在很多条直线与ɑ成90°角
解析 若直线ɑ平行于平面α，则α内既存在很多条直线与ɑ平行，也存在很多条直线与ɑ异面且垂直，所以A不正确，B，D正确，又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确．
答案 A
2．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是 ( )
A．AB∥CD B．AD∥CB
C．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面
解析 充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性明显成立．
答案 D
3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是 ( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析 l∥α，l∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知B项正确；由l⊥α，l∥β可知α⊥β，故C项错；由α⊥β，l∥α可知l与β可能平行，也可能lβ，也可能相交，故D项错．故选B.
答案 B
4．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则 ( )
A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
解析 如图，由题意得EF∥BD，且EF＝BD.
HG∥BD，且HG＝BD.
∴EF∥HG，且EF≠HG.
∴四边形EFGH是梯形．
又EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行．故选B.
答案 B
5．(2021·江西六校联考)已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是 ( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若α∥β，m∥n，m∥α，则n∥β
D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
解析 对于选项A，m∥α，n∥α，则m与n可以平行，可以相交，可以异面，故A错误；对于选项B，由线面垂直的性质定理知，m∥n，故B正确；对于选项C，n可以平行β，也可以在β内，故C错；对于选项D，α与β可以相交，因此D错．故选B.
答案 B
二、填空题
6．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．
解析 由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为.
答案
7. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析 由于直线EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，
所以EF∥AC，
又E是DA的中点，所以F是DC的中点，
由中位线定理可得EF＝AC，
又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，
所以AC＝2，所以EF＝.
答案
8．(2022·金丽衢十二校联考)设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，bβ；②a∥γ，b∥β；③b∥β，aγ.假如命题“α∩β＝a，bγ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把全部正确的序号填上)．
解析 由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，aγ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.
答案 ①或③
三、解答题
9．(2022·西安模拟)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
求证：(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明 (1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE⃘平面DMF，MO平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)由于N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⃘平面MNG，GN平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
又BD⃘平面MNG，MN平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.
10．(2022·长沙模拟)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC的中点)．
(1)求证：MN∥平面CDEF；
(2)求多面体A－CDEF的体积．
解 由三视图可知：AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2，∠CBF＝.
(1)证明 取BF的中点G，连接MG，NG，由M，N分别为AF，BC的中点可得，NG∥CF，MG∥AB∥EF，且NG∩MG＝G，CF∩EF＝F，
∴平面MNG∥平面CDEF，
又MN平面MNG，
∴MN∥平面CDEF.
(2)取DE的中点H.∵AD＝AE，∴AH⊥DE，
在直三棱柱ADE－BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，
平面ADE∩平面CDEF＝DE，AH平面ADE，
∴AH⊥平面CDEF.
∴多面体A－CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH＝.
S矩形CDEF＝DE·EF＝4，
∴棱锥A－CDEF的体积为V＝·S矩形CDEF·AH＝×4×＝.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
11．(2021·广东七校联考)设a，b是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是 ( )
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，aα，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α
解析 对于A，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a，a∥α，a∥β，所以A是α∥β的一个必要条件；同理，B也是α∥β的一个必要条件；易知C不是α∥β的一个充分条件，而是一个必要条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以D是α∥β的一个充分条件．
答案 D
12．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是 ( )
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
解析 对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④：AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②，③都不行以，故选C.
答案 C
13.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
解析 如图，连接FH，HN，FN，
由题意知HN∥面B1BDD1，
FH∥面B1BDD1.
且HN∩FH＝H，
∴面NHF∥面B1BDD1.
∴当M在线段HF上运动时，
有MN∥面B1BDD1.
答案 M∈线段HF
14．(2022·南昌模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝AF＝4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C＝2.
(1)求五棱锥A′－BCDFE的体积；
(2)在线段A′C上是否存在一点M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M；若不存在，请说明理由．
解 (1)连接AC，设AC∩EF＝H，连接A′H.
∵四边形ABCD是正方形，AE＝AF＝4，
∴H是EF的中点，且EF⊥AH，EF⊥CH，
从而有A′H⊥EF，CH⊥EF，又A′H∩CH＝H，
所以EF⊥平面A′HC，且EF平面ABCD，
从而平面A′HC⊥平面ABCD，
过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，
则A′O⊥平面ABCD，
由于正方形ABCD的边长为6，AE＝AF＝4，
故A′H＝2，CH＝4，
所以cos∠A′HC＝＝＝，
所以HO＝A′H·cos∠A′HC＝，则A′O＝，
所以五棱锥A′－BCDFE的体积
V＝××＝.
(2)线段A′C上存在点M，使得BM∥平面A′EF，
此时A′M＝.
证明如下：
连接OM，BD，BM，DM，且易知BD过O点．
A′M＝＝A′C，HO＝HC，
所以OM∥A′H，又OM⃘平面A′EF，A′H平面A′EF，
所以OM∥平面A′EF，
又BD∥EF，BD⃘平面A′EF，EF平面A′EF，
所以BD∥平面A′EF，
又BD∩OM＝O，所以平面MBD∥平面A′EF，
由于BM平面MBD，所以BM∥平面A′EF.
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