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2021年高三教学测试（二）
理科数学 参考答案
一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1．C； 2．D； 3．A； 4．C；
5．C； 6．B； 7．A； 8．D．
8．【解析】
设，，由条件知二次函数的对称轴不能在y轴的左侧即，且两个函数的图象在轴上交于同一点，即，
所以，在上有解，从而.
二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分）
9．， 10．， 11．， 12．3，1
13．1 14．4 15．
（第15题）
15．【解析】
设矩形与所成锐二面角为，
面积记为，则正方形与
所成锐二面角为，面积记为．
所求阴影面积
，其中．故．
三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题满分14分）
三角形中，已知，其中，角所对的边分别为．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．
16．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得：，
∴由余弦定理得：，∴． …6分
（Ⅱ）由正弦定理得：
又，∴，
∴，
而，∴，
∴，∴. …14分
17．（本题满分15分）
如图，在三棱锥中，平面，，，、、分别为、、的中点，、分别为线段、上的动点，且有．
（Ⅰ）求证：面；
（第17题）
A
D
P
B
C
F
E
M
N
（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角为直二面角？若存在，求CM的长度；若不存在，说明理由．
17．【解析】（Ⅰ）∵平面，
∴，
又，∴面；
又∵，
∴面. …6分
（Ⅱ） 由条件可得，即为二面角的平面角；
若二面角为直二面角，则.
在直角三角形PCA中，设，则，
在中，由余弦定理可得，
；
同理可得，；
又由，得，解得或.
∴存在直二面角，且CM的长度为1或. …15分
18．（本题满分15分）
设椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆交于两点，已知当//轴时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当时，求直线的方程．
（第18题）
18．【解析】（Ⅰ）由条件：，∴，
过点且平行于轴的直线截椭圆
所得弦长为：，
∴，∴椭圆的方程为：．…6分
（Ⅱ）设，，∴①
（1）若直线l存在斜率，可设l：，
则由可得，
∴，与①联立解得，；
（2）若直线l不存在斜率，则l：，
∴，易知
∴直线的方程为：． …15分
19．（本题满分15分）
如图，在平面直角坐标系中，设，有一组圆心在x轴正半轴上的圆（）与x轴的交点分别为和．过圆心作垂直于x轴的直线，在第一象限与圆交于点．
（Ⅰ）试求数列的通项公式；
（Ⅱ）设曲边形（阴影所示）的面积为，若对任意，恒成立，试求实数m的取值范围．
（第19题）
19.【解析】（Ⅰ）由条件可得，
，又由于
，可得数列是等比数列．
故，，从而．…6分
（Ⅱ）由于，所以，
所以，且，
所以，所以
．
故可得实数． …15分
20．（本题满分15分）
已知函数，．
（Ⅰ）当时，函数在区间上的最大值为，试求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当时，若不等式对任意（）恒成立，求实数k的取值范围．
20.【解析】（Ⅰ）∵，∴在上递减，在上递增，
又∵在区间上的最大值为，
∴，得，∴，即 ； …6分
（Ⅱ）∵ ∴恒成立
令，∴在上递增。
对于，，
（1）当时，
①当时，在上递增，所以符合；
②当时，在上递增，所以符合；
③当时，只需，即
∴，∴
（2）当时，
①当时，在上递减，所以不合；
②当时，在上递减，所以不合；
③当时，只需，，
∴
综上可知，． …15分
命题人
沈勤龙、黄海平、刘 舸、吴旻玲
吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华
2021年3月
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