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3.2.2 直线的两点式方程
【课时目标】 1．把握直线方程的两点式．2．把握直线方程的截距式．3．进一步巩固截距的概念．
1．直线方程的两点式和截距式
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
两
点
式
P1(x1，y1)，
P2(x2，y2)，
其中x1≠x2，
y1≠y2
＝
斜率存在
且不为0
截
距
式
在x，y轴上的
截距分别为a，b且ab≠0
斜率存在且不为0，
不过原点
2．线段的中点坐标公式
若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则．
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．方程＝k表示过点M(x1，y1)且斜率为k的直线方程
B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1
C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b
D．不与坐标轴平行或垂直的直线的方程确定可以写成两点式或斜截式
2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )
A．可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
3．直线－＝1在y轴上的截距是( )
A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b
4．在x、y轴上的截距分别是－3、4的直线方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
5．直线－＝1与－＝1在同一坐标系中的图象可能是( )
6．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是( )
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0
D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0
二、填空题
7．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的点斜式方式为______________．
8．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是________________．
9．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式是______________．
三、解答题
10．已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线l的方程．
11．三角形ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；
(3)求AC边上的中垂线所在直线的方程．
力气提升
12．已知点A(2,5)与点B(4，－7)，点P在y轴上，若|PA|＋|PB|的值最小，则点P的坐标是________．
13．已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程．
1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．(1)点斜式应留意过P(x0，y0)且斜率不存在的状况．(2)斜截式，要留意斜率不存在的状况．(3)两点式要考虑直线平行于x轴和垂直于x轴的状况．(4)截距式要留意截距都存在的条件．
2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，在求直线方程时，应抓住这些几何特征，求直线方程．
3．强调两个问题：
(1)截距并非距离，另外截距相等包括截距均为零的状况，但此时不能用截距式方程表示，而应用y＝kx表示．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线y＝1没有横截距，x＝2没有纵截距．
(2)方程y－y1＝(x－x1)(x1≠x2)与＝(x1≠x2，y1≠y2)以及(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)代表的直线范围不同(想一想，为什么？)．
3．2．2 直线的两点式方程 答案
学问梳理
1．＋＝1
2．
作业设计
1．A 2．B
3．B [令x＝0得，y＝－b2．]
4．A
5．B [两直线的方程分别化为斜截式：y＝x－n，
y＝x－m，易知两直线的斜率的符号相同，四个选项中仅有B选项的两直线的斜率符号相同．]
6．D [当y轴上截距b＝0时，方程设为y＝kx，
将(5,2)代入得，y＝x，即2x－5y＝0；
当b≠0时，方程设为＋＝1，求得b＝，∴选D．]
7．y－＝2(x－2)
解析 kAB＝－，由k·kAB＝－1得
k＝2，AB的中点坐标为，
点斜式方程为y－＝2(x－2)．
8．＋＝1或＋y＝1
解析 设直线方程的截距式为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是＋＝1或＋＝1，即＋＝1或＋y＝1．
9．＋＝1
解析 设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，
即A、B的坐标分别为(2,0)、(0,6)．
则l的方程为＋＝1．
10．解 方法一 设所求直线l的方程为y＝kx＋b．
∵k＝6，∴方程为y＝6x＋b．
令x＝0，∴y＝b，与y轴的交点为(0，b)；
令y＝0，∴x＝－，与x轴的交点为．
依据勾股定理得2＋b2＝37，
∴b＝±6．因此直线l的方程为y＝6x±6．
方法二 设所求直线为＋＝1，则与x轴、y轴的交点分别为(a,0)、(0，b)．
由勾股定理知a2＋b2＝37．
又k＝－＝6，∴
解此方程组可得或
因此所求直线l的方程为x＋＝1或－x＋＝1．
11．解 (1)由截距式得＋＝1，
∴AC所在直线方程为x－2y＋8＝0，
由两点式得＝，
∴AB所在直线方程为x＋y－4＝0．
(2)D点坐标为(－4,2)，由两点式得＝．
∴BD所在直线方程为2x－y＋10＝0．
(3)由kAC＝，∴AC边上的中垂线的斜率为－2，
又D(－4,2)，由点斜式得y－2＝－2(x＋4)，
∴AC边上的中垂线所在直线方程为2x＋y＋6＝0．
12．(0,1)
解析 要使|PA|＋|PB|的值最小，先求点A关于y轴的对称点A′(－2,5)，连接A′B，直线A′B与y轴的交点P即为所求点．
13．解 当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为，
∴所求直线方程为y＝x，
即x－7y＝0．
当直线l不过原点时，设其方程＋＝1，
由题意可得a＋b＝0， ①
又l经过点(7,1)，有＋＝1， ②
由①②得a＝6，b＝－6，则l的方程为＋＝1，即x－y－6＝0．
故所求直线l的方程为x－7y＝0或x－y－6＝0．
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