《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修5)教师用书：3.9基本不等式及其变形-讲义.docx

第9课时　基本不等式及其变形

1.生疏基本不等式的变形;并会用基本不等式及其变形来解题.
2了解基本不等式的推广,并会应用.

重点:利用基本不等式及其变形来解题.
难点:基本不等式的推广的理解.

上一课时我们共同学习了基本不等式的基本概念以及利用基本不等式求最值,并了解了一正二定三相等四最值这些过程.基本不等式是一种重要的数学工具,是集合、函数、不等式、三角函数、数列等学问的综合交汇点,地位重要,这一讲我们将共同探究基本不等式及其变形的应用.

问题1:常见的基本不等式的变形
(1)x+≥2(x>0),x+≤-2(x<0);
(2)+≥2(a,b同号),+≤-2(a,b异号);
(3)a+b≥2,()2　≥　ab; 
(4)ab≤,()2≤,当且仅当a=b时取等号.
问题2:基本不等式的推广
已知a,b是正数,则有
(调和平均数)≤(几何平均数)≤(算术平均数)≤(平方平均数),当且仅当a=b时取等号.
问题3:基本不等式的推广的推导
∵a,b是正数,∴≤=,
而≤,又a2+b2≥2ab,
∴2(a2+b2)≥(a+b)2,∴≤.
故≤≤≤.
问题4:若a,b,c∈R+,则≥,当且仅当a=b=c时等号成立,则关于n个正数a1,a2,a3,…,an的基本不等式为:≥ 　,当且仅当a1=a2=a3=…=an时等号成立,其中叫作这n个数的　算术平均数　,叫作这n个数的　几何平均数　. 

契比雪夫不等式
(1)若a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,则(a1b1+a2b2+…+anbn)≥·;
(2)若a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn,则(a1b1+a2b2+…+anbn)≤·.

1.四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列,则(　　).
A.>　　　　　　B.<
C.= D.≤
【解析】∵a+d=b+c,又∵a、b、c、d均是正数,且不相等,
∴=>.
【答案】A
2.已知a>1,b>1,且lg a+lg b=6,则lg a·lg b的最大值为(　　).
A.6　　　　 B.9　　　　 C.12　　　 D.18
【解析】∵a>1,b>1,∴lg a>0,lg b>0,
又lg a+lg b=6,∴lg a·lg b≤()2=()2=9,故选B.
【答案】B
3.已知a,b为正实数,假如ab=36,那么a+b的最小值为　　　　;假如a+b=18,那么ab的最大值为　　　　. 
【解析】依据基本不等式a+b≥2=2=12,得a+b的最小值为12.依据≤=9,即ab≤81,得ab的最大值为81.
【答案】12　81
4.已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.
【解析】∵a,b,c为两两不相等的实数,
∴a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>2ca,
以上三式相加:2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca,
∴a2+b2+c2>ab+bc+ca.

利用基本不等式推断不等关系
若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是　　　　(写出全部正确命题的编号). 
①ab≤1;②+≤;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤+≥2.
【方法指导】依据已知条件依次推断命题.
【解析】令a=b=1,排解命题②④;
由2=a+b≥2⇒ab≤1,命题①正确;
a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,命题③正确;
+==≥2,命题⑤正确.
故填①③⑤.
【答案】①③⑤
【小结】基本不等式常用于有条件的不等关系的推断、比较代数式的大小等.一般地,结合所给代数式的特征,将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化),使其中的不等关系明晰即可解决问题.

基本不等式在证明题中的应用
已知a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.
【方法指导】所证不等式的左边为分式,右边为整式,依据左边式子的特点,若要用基本不等式可在左边添项,变为(+b)+(+c)+(+a)的形式.
【解析】∵a>0,b>0,c>0,∴+b≥2=2a.
同理:+c≥2b,+a≥2c,
三式相加得:++≥a+b+c.
【小结】本题的求解关键是分析出要证不等式左、右两边都为和的形式,且左边为分式形式,联想x+≥2,需添上相应分母形式,即a,b,c三项,这也正是本题的思维障碍点,需要有较强的观看、分析力气.

利用基本不等式求最值
已知正数x,y满足x2+=1,求x的最大值.
【方法指导】所求的最值是一个积式的形式,因此,应将条件转化为和的定值的形式,然后利用基本不等式建立待求和的关系.
【解析】∵x2+=1,∴2x2+y2=2,
∴x=x·
≤·
=·=,
当且仅当⇒时等号成立,
∴x的最大值是.
【小结】本题解题的关键是紧扣已知条件中和为定值开放思路,把代数式中的积利用不等式转化为和,解题障碍在于利用已知条件凑好系数.当然,本题也可利用函数思想求解.

已知正数0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2,2ab,a2+b2中最大的一个是(　　).
A.a2+b2　　　　　　　　B.2
C.2ab D.a+b
【解析】由于a,b∈(0,1),a≠b,所以a+b>2,a2+b2>2ab,所以最大的只能是a2+b2与a+b之一.
而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又0<a<1,0<b<1,所以a-1<0,b-1<0,因此,a2+b2<a+b,所以a+b最大.
【答案】D

已知a>0,b>0,c>0,求证:++≥++.
【解析】∵+≥,+≥,+≥,
∴2(++)≥++,
即++≥++.

下列说法:
①对任意x>0,lg x+≥2;
②对任意x∈R,ax+≥2;
③对任意x∈(0,),tan x+≥2;
④对任意x∈R,sin x+≥2.
其中正确的是(　　).
A.①③　　B.③④　　C.②③　　D.①②③④
【解析】任意x>0,无法确定lg x>0,①错;
任意x∈R,ax>0,依据基本不等式ax+≥2,②正确;
对任意x∈(0,),有tan x>0,依据基本不等式
tan x+≥2=2,③正确;
存在x=-,sin x+=-2,④错.选C.
【答案】C

1.已知m,n∈R,m2+n2=100,则mn的最大值是(　　).
A.100　　　B.50　　　C.20　　　D.10
【解析】mn≤==50,当且仅当m=n=或m=n=-时等号成立.
【答案】B
2.若0<a<b且a+b=1,则下列四个数中最大的是 (　　).
A. B.b C.2ab D.a2+b2
【解析】取特殊值,令a=,b=,2ab=,a2+b2=,因此最大的是b.或2ab<=<a2+b2,又b=ab+b2>a2+b2,故b最大.
【答案】B
3.已知x,y都为正数,且x+4y=1,则xy的最大值为　　　　. 
【解析】∵x,y都为正数,∴1=x+4y≥2=4,
∴xy≤,当且仅当x=,y=时取等号.
【答案】
4.已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
【解析】由a,b,c,d都是正数,得: ≥>0,
≥>0,∴≥abcd,
即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd,当且仅当a=b=c=d时,取等号.

1.(2021年·福建卷)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是(　　).
A.[0,2] B.[-2,0]
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
【解析】由基本不等式可得1=2x+2y≥2=2,∴2x+y≤,∴x+y≤-2,选D.
【答案】D
2.(2021年·四川卷)已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=　　　　. 
【解析】∵x>0,a>0,∴f(x)=4x+≥2=4,当且仅当4x=,即a=4x2=36时等号成立.
【答案】36