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第8课时 基本不等式
1.把握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义.
2.能够利用基本不等式求最大(小)值.
3.利用基本不等式求最值时要留意“一正二定三相等”.
重点:基本不等式的实质由此加深同学对算术平均数、几何平均数的概念及相互关系的理解.
难点:用基本不等式求最值要留意等号成立的条件,当等号不成立时,考虑用函数的单调性解决最值问题.
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是依据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热忱好客.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,那么正方形的边长为.
问题1:上述情境中,正方形的面积为 a2+b2 ,4个直角三角形的面积的和 2ab ,由于4个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式: a2+b2≥2ab ,我们称之为重要不等式,即对于任意实数a,b,都有 a2+b2≥2ab 当且仅当 a=b 时,等号成立.
我们也可以通过作差法来证明: a2+b2 - 2ab =(a-b)2≥0,
∴ a2+b2≥2ab ,当且仅当a=b时取等号.
问题2:基本不等式
若a,b∈(0,+∞),则 ≥ ,当且仅当 a=b 时,等号成立.
问题3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释.
(1)基本不等式的几何解释:
在直角三角形中,直角三角形斜边上的 中线不小于 斜边上的 的高 .在圆中,半径不小于半弦长.
(2)假如把看作正数a、b的 等差中项 ,看作正数a、b的 等比中项 ,那么该定理可以叙述为:两个正数的 等差中项 不小于它们的 等比中项 .
(3)在数学中,我们称为a、b的 算术平均数 ,称为a、b的 几何平均数 .因此,两个正数的 算术平均数 不小于它们的 几何平均数 .
问题4:由基本不等式我们可以得出求最值的结论:
(1)已知x,y∈(0,+∞),若积x·y=p(定值),则和x+y有最 小 值 2 ,当且仅当x=y时,取“=”.
(2)已知x,y∈(0,+∞),若和x+y=s(定值),则积x·y有最 大 值 ,当且仅当x=y时,取“=”.
即“积为常数, 和有最小值 ;和为常数, 积有最大值 ”.
概括为:一正二定三相等四最值.
调和平均数是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数,也称倒数平均数,是平均数的一种.但统计调和平均数,与数学调和平均数不同.在数学中调和平均数与算术平均数都是独立的自成体系的,计算结果前者恒小于等于后者,因而数学调和平均数定义为:数值倒数的平均数的倒数.但统计加权调和平均数则与之不同,它是加权算术平均数的变形,附属于算术平均数,不能单独成立体系,且计算结果与加权算术平均数完全相等,主要是用来解决在无法把握总体单位数(频数)的状况下,只有每组的变量值和相应的标志总量,而需要求得平均数的状况下使用的一种数据方法.
1.在下列不等式的证明过程中,正确的是( ).
A.若a,b∈R,则+≥2=2
B.若a,b∈R+,则lg a+lg b≥2
C.若x为负实数,则x+≥-2=-2
D.若x为负实数,则3x+3-x≥2=2
【解析】对于A,若+≥2,则须a,b同号;对于B,应有a>1,b>1;对于C,因x为负实数,则x+=-[(-x)+]≤-2;只有D正确.
【答案】D
2.下列不等式确定成立的是( ).
A.lg(x2+)>lg x(x>0)
B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.>(b>a>0)
D.>1(x∈R)
【解析】对于A,x2+≥2=x,可以取“=”;对于B,当sin x<0时不成立;对于C,∵(a+2)b-(b+2)a=2(b-a)>0,∴>,正确;对于D,当x=0时,=1,不成立.∴只有C正确.
【答案】C
3.已知x>0,y>0,4x+9y=1,则+的最小值为 .
【解析】∵x>0,y>0,4x+9y=1,
∴+=(+)(4x+9y)
=++13≥12+13=25,
当且仅当=且4x+9y=1时等号成立,
得:x=,y=.
故当x=,y=时,(+)min=25.
【答案】25
4.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证:+≥4.
【解析】+=+++
=(+)+(+)≥2+2=4(当且仅当a=b且c=d时,取“=”).
基本不等式求最值
(1)已知x>,求函数y=4x-2+的最小值.
(2)已知正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.
【方法指导】对已知函数进行变形,再运用均值不等式与换元法,留意等号的取舍.
【解析】(1)∵x>,∴4x-5>0,
∴y=4x-5++3.
∵4x-5+≥2=2,
当且仅当4x-5=,即x=时,等号成立.
∴y≥2+3=5.
故当x=时,函数y=4x-2+取得最小值5.
(2)∵ab-3=a+b≥2,∴ab-2-3≥0且ab>0,即(-1)2≥4,∴≥3,即ab≥9(当且仅当a=b时取等号),
∴ab的取值范围是[9,+∞).
【小结】使用基本不等式时要留意“一正二定三相等”.
利用基本不等式证明不等式
已知x、y都是正数,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.
【方法指导】在运用基本不等式≥时,留意条件a、b均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件),进行变形.
【解析】∵x,y都是正数,
∴x2>0,y2>0,x3>0,y3>0.
∵x+y≥2>0,x2+y2≥2>0,x3+y3≥2>0,
∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2·2·2=8x3y3,
即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.当且仅当“x=y”时取“=”.
【小结】多次利用基本不等式证明时,确定要留意是否每次都能保证等号成立,并且取等号的条件应当全都.
单调性与基本不等式
设函数f(x)=x+,x∈[0,+∞).
(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当0<a<1时,求函数f(x)的最小值.
【方法指导】使用基本不等式时要留意参数的范围与取等号的关系.
【解析】(1)把a=2代入f(x)=x+中,得f(x)=x+=x+1+-1.
由于x∈[0,+∞),所以x+1>0,>0,
所以f(x)≥2-1,当且仅当x+1=,即x=-1时,f(x)取得最小值2-1.
(2)由于f(x)=x+=x+1+-1.
当且仅当x+1=时等式成立,即x=-1<0,又x∈[0,+∞),所以基本不等式等号取不到.
设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)·[1-].
由于x1>x2≥0,所以x1-x2>0,x1+1>1,x2+1≥1,所以(x1+1)(x2+1)>1,而0<a<1,
所以<1,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增.
所以f(x)min=f(0)=a.
【小结】本题第(2)问要从函数的单调性或结合双勾函数来考虑,由于基本不等式等号取不到,这是用基本不等式经常遇到的问题.
(1)设0<x<,求函数y=4x(3-2x)的最大值.
(2)若-4<x<1,求的最值.
【解析】(1)∵0<x<,∴3-2x>0,
∴y=4x(3-2x)=2·2x(3-2x)≤2()2=,当且仅当2x=3-2x,即x=∈(0,)时等号成立,
∴ymax=.
(2)=·=[(x-1)+]=-[-(x-1)+],
∵-4<x<1,∴0<-(x-1)<5.
∴[-(x-1)+]≥2,
当且仅当x=0∈(-4,1)时取等号,
∴-[-(x-1)+]≤-1,即()max=-1,无最小值.
设a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.
【解析】∵a,b,c都是正数,∴,,都是正数.
∴+≥2c,当且仅当a=b时等号成立,
+≥2a,当且仅当b=c时等号成立,
+≥2b,当且仅当a=c时等号成立.
三式相加,得2(++)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c,
当且仅当a=b=c时等号成立.
求函数y=的值域.
【解析】令=t(t≥2),则y==+=t+(t≥2).
由于t>0,所以t+≥2,当且仅当t=1时取等号,明显不在区间[2,+∞)内,即等号不成立,故考虑其单调性.
易证y=t+在区间[2,+∞)上单调递增,故y≥.
所以,所求函数的值域为[,+∞).
1.下列不等式中恒成立的是( ).
A.≥ B.x+≥2
C.≥3 D.2-3x-≥2
【解析】A:=≥,恒成立.
B:当x=-1时,x+=-2,不恒成立.
C:=-,当x=0时最小,最小值为,∴不恒成立.
D:当x>0时,2-3x-=2-(3x+)≤2-2×=2-4,不恒成立,选A.
【答案】A
2.当点(x,y)在直线x+3y-2=0上移动时,表达式3x+27y+1的最小值为( ).
A.3 B.5 C.1 D.7
【解析】由x+3y-2=0得3y=-x+2,
∴3x+27y+1=3x+33y+1=3x+3-x+2+1
=3x++1≥2+1=7.
当且仅当3x=,即x=1时取得等号.
【答案】D
3.已知0<x<,则x(1-3x)取得最大值时,x的值是 .
【解析】由于0<x<,所以0<1-3x<1,
所以x(1-3x)=[3x(1-3x)]≤·[]2=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,x(1-3x)取得最大值.
【答案】
4.已知a、b、c是不全相等的正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)>8abc.
【解析】∵a,b,c都是正数,
∴a+b≥2>0(当且仅当a=b时等号成立),
b+c≥2>0(当且仅当b=c时等号成立),
c+a≥2>0(当且仅当a=c时等号成立),
∵a、b、c是不全相等的正数,
∴上述三式中至少有一个等号不成立,
∴(a+b)(b+c)(c+a)>2·2·2=8abc,
即(a+b)(b+c)(c+a)>8abc.
(2011年·重庆卷)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于( ).
A.1+ B.1+
C.3 D.4
【解析】∵x>2,∴f(x)=x+=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时取等号.∴a=3.
【答案】C
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