资源描述
2021年宁德市一般高中毕业班单科质量检查
数学（理科）试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．
留意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请依据题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
样本数据，，，的标准差
其中为样本平均数
柱体体积公式
其中为底面面积，为高
锥体体积公式
其中为底面面积，为高
球的表面积、体积公式
，
其中为球的半径
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，则满足且的实数所组成的集合为
A． B． C． D．
2．命题“若，则”的逆否命题是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．为了解某班同学宠爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：
宠爱打篮球
不宠爱打篮球
合计
男生
19
6
25
女生
9
16
25
合计
28
22
50
依据表中的数据及随机变量的公式，算得．
临界值表：
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
依据临界值表，你认为宠爱打篮球与性别之间有关系的把握是
A．97.5% B．99% C．99.5％ D．99.9%
开头
结束
否
是
输出
4．某公司将4名新聘请的员工支配至3个不同
的部门，每个部门至少支配一名员工．其中
甲、乙两名员工必需在同一个部门的不同分
配方法的总数为
A．6 B．12 Ｃ．24 D．36
5．运行如图所示的程序框图，则输出的全部实数对
所对应的点都在函数
A．的图象上
B．的图象上
C．的图象上
D．的图象上
6．若变量满足约束条件且的
最大值和最小值分别为和，则等于
A．8 B．7 C．6 D．5
7．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A． B． C． D．
8．已知函数，其中，则下列结论中正确的是
A．的一条对称轴是
B．在上单调递增
C．是最小正周期为的奇函数
D．将函数的图象左移个单位得到函数的图象
9．已知为坐标原点，向量，．若平面区域由全部满足（，）的点组成，则能够把区域的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线是
A． B．
C． D．
10．斜率为的两条直线分别切函数的图象于，两点．若直线的方程为，则的值为
A．8 B．7 C．6 D．5
第II卷 （非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
11．已知复数(是虚数单位)，则的模_______．
12．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为
3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中乙种产品有30件，则样本容量n＝________．
13．如图，直线与函数的图象交于点，，
过作轴于．在中任取一点，则该点落在阴
影部分的概率为________．
14．已知长方体从同一顶点动身的三条棱长分别为，且成等差数列．若其对角线长为，则的最大值为________．
15．如图，，，，均为
等腰直角三角形，其直角顶点，，，
在曲线上，与坐标原点重合，
在轴正半轴上．设的纵坐标为，
则________．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．(本小题满分13分)
分组
频数
频率
(80，90]
3
0.03
(90，100]
7
0.07
(100，110]
0.10
(110，120]
20
(120，130]
35
0.35
(130，140]
20
0.20
(140，150]
5
0.05
合计
1.00
某渔池年初放养一批鱼苗，为了解这批鱼苗的生长、
健康状况，一个月后，从该渔池中随机捞出条鱼称其
重量（单位:克），并将所得数据进行分组，得到如右频
率分布表．
（Ⅰ）求频率分布表中的，，的值；
（Ⅱ）从捞出的重量不超过克的鱼中，随机抽取条
作病理检测，记这条鱼中，重量不超过克的鱼的条
数为，求的分布列和数学期望．
17．(本小题满分13分)
已知数列满足：，且．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．
18．(本小题满分13分)
如图（1）所示，直角梯形中，，，，．过作于，是线段上的一个动点．将沿向上折起，使平面平面．连结，，（如图（2））．
（Ⅰ）取线段的中点，问：是否存在点，使得平面？若存在，求出 的长；不存在，说明理由；
A
B
E
C
D
A
D
C
B
E
P
Q
P
•
（Ⅱ）当时，求平面和平面所成的锐二面角的余弦值．
图（2）
图（1）
19．（本小题满分13分）
A
B
C
D
l
某供货商拟从码头发货至其对岸的两个商场，处，
通常货物先由处船运至之间的中转站，再利用车
辆转运．如图，码头与两商场，的距离相等，两商
场间的距离为千米，且．若一批货物从码头
至处的运费为100元/千米，这批货到后需分别发车2辆、
4辆转运至、处，每辆汽车运费为25元/千米．设该批货总运费为元．
（Ⅰ）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；
（Ⅱ）当为何值时，总运费最小？并求出的最小值．
20． (本小题满分14分)
已知函数．
（Ⅰ）若，求函数的极值；
（Ⅱ）若在有唯一的零点，求的取值范围；
（Ⅲ）若，设，求证：在内有唯一的零点，且对（Ⅱ）中的，满足．
21．(本小题满分14分)
本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，假如多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）选修4-2:矩阵与变换（本小题满分7分）
已知二阶矩阵A有特征值，，其对应的一个特征向量分别为，．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求圆在矩阵A所对应的线性变换作用下得到曲线的方程．
（2）选修4-4 参数方程与极坐标（本小题满分7分）
已知倾斜角为，过点的直线与曲线C：是参数相交于，两点．
（Ⅰ）写出直线的参数方程和曲线C的一般方程；
（Ⅱ）求的值．
（3）选修4-5：不等式选讲（本小题满分7分）
在空间直角坐标系中，坐标原点为，点坐标为．
（Ⅰ）若点在轴上，且坐标满足，求点到原点的距离的最小值；
（Ⅱ）若点到坐标原点的距离为，求的最大值．
2021年宁德市一般高中毕业班单科质量检查
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明:
一、本解答指出了每题要考查的主要学问和力气，并给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与本解法不同，可依据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未转变该题的内容和难度，可视影响的程度打算后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基础学问和基本运算，每小题5分，满分50分.
1. D 2. B 3. C 4. A 5. D 6. C 7. A 8. B 9. C 10. B
二、填空题：本题考查基础学问和基本运算，每小题4分，满分20分.
11. 12. 13. 14. 15.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. 本小题主要考察概率统计的基础学问，考查推理论证力气、数据处理力气、运算求解力气及应用意识，考查或然与必定的思想，满分13分．
解：（Ⅰ）依题意，， ………………………………………1分
∴． ………………………………………………2分
∴， …………………………………………3分 ． ……………………………………………4分
（Ⅱ）依题意，的全部可能取值为0，1，2，3， …………5分
， ，
， ， …………9分
（说明：以上4个式子，每个1分）
故的分布列为
0
1
2
3
P
…………11分
所以的数学期望…………12分．
. …………………………………13分
17. 本题主要考查等差数列、等比数列等基础学问，考查抽象概括力气，推理论证力气，运算求解力气，考查化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分.
解法一：（Ⅰ）令，………………………………………………1分
则 …………………………………………2分
……… ………………………3分
………………………………………4分
∴数列为公差为的等差数列.
即数列是公差为的等差数列. ……………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列为公差为的等差数列， ，
∴ ……………………………………………6分
∴． …………………………………………………………7分
∴，……………① …………………8分
∴，……………②……………………9分
①-②得， ……………………10分
∴
……………………………………12分
． ………………………………………13分
解法二：（Ⅰ）∵，
∴，……………………………………3分
∴， …………………………………4分
∴数列是公差为的等差数列. ……………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：数列是公差为的等差数列，
∴，
∴．……………………7分
以下同法一
18. 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础学问，考查空间想象力气、推理论证力气和运算求解力气，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分.
解：（Ⅰ）存在．当为的中点时，满足平面．………1分
取的中点，连结，．
A
D
C
B
E
P
M
Q
由为的中点，得，且，……2分
又，且，
所以，，
所以四边形为平行四边形，……………………3分
故．……………………………………………4分
又平面，平面，
所以平面． ………………………………5分
Q
x
y
z
A
D
C
B
E
P
从而存在点，使得平面，此时．……………… 6分
（Ⅱ）由平面平面，交线为，且，
所以平面，又，………………………………7分
以E为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间
直角坐标系（如图），则，，，，
．…………………………………………………………8分
，．…………………………………9分
平面的一个法向量为， ……………………10分
设平面的法向量为，
由得 ………………………………………11分
取，得， ……………………………………………12分
所以，
即面和平面所成的锐二面角的余弦值为．……………13分
19. 本题主要考查三角函数的恒等变换、解三角形、函数与导数等基础学问，考查推理论证力气、抽象概括力气和运算求解力气，考查应用意识，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想．满分13分.
解法一：（Ⅰ）依题意，在中，，
∴．………………………………………………………1分
又∵在中，,，
由，得 ………………………………2分
由，得，…………3分
∴． …………………………………4分
∴………………………5分
………………………6分
其中的取值范围是． …………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）
， …………………………8分
令，
∴，……………9分
由得：，又∵，
∴． …………………………………………………………10分
当时，，
当时，， …………………………………11分
∴． …………………………………12分
∴（元），
∴当时，运输费用S的最小值为元．……………13分
20. 本题考查函数与导数等基本学问，考查推理论证力气和运算求解力气，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学学问分析和解决问题的力气，满分14分．
解法一：（Ⅰ）当时，，，
．…………………1分
由，令，得．
当变化时，，的变化如下表：
0
微小值
故函数在单调递减，在单调递增，…………………3分
有微小值，无极大值．………………………………4分
（Ⅱ），
令，得，设．
则在有唯一的零点等价于在有唯一的零点
当时，方程的解为，满足题意；…………………………5分
当时，由函数图象的对称轴，函数在上单调递增，
且，，所以满足题意；……………………6分
当，时，，此时方程的解为，不符合题意；
当，时，由，
只需，得．……………7分
综上，．…………………8分
（说明：未争辩扣1分）
（Ⅲ）设，则，
，…………………9分
，
由，故由（Ⅱ）可知，
方程在内有唯一的解，
且当时，，单调递减；
时，，单调递增．…………………11分
又，所以．…………………12分
取，
则
，
从而当时，必存在唯一的零点，且，
即，得，且，
从而函数在内有唯一的零点，满足．……14分
解法二：（Ⅰ）同解法一；………………4分
（Ⅱ），
令，由，得．………5分
设，则，，………6分
问题转化为直线与函数的图象在恰有一个交点问题．
又当时，单调递增，………7分
故直线与函数的图象恰有一个交点，当且仅当．……8分
（Ⅲ）同解法一．
（说明：第（Ⅲ）问推断零点存在时，利用时，进行证明，扣1分）
21. （1）本题主要考查矩阵与变换等基础学问，考查运算求解力气，考查数形结合思想、化归与转化思想，满分7分．
解：（Ⅰ）设矩阵,
依题意，得 …………………1分
∴ ………………………………2分
解得 …………………………3分
∴.…………………4分
（Ⅱ）设圆C上任意一点在矩阵对应的变换作用下的像是,
∴ …………………5分
解得…………………6分
又∵ ,
∴,
∴曲线C′的方程为.…………………7分
（2）本题主要考查直线和圆的参数方程等基础学问，考查运算求解力气、推理论证力气，考查数形结合思想和化归与转化思想，满分7分．
（Ⅰ）依题意，得直线的参数方程为（为参数）………1分
即（为参数）…①…………………………………………2分
∵曲线C的参数方程为
∴曲线C的一般方程为.………②………………4分
（Ⅱ）把①代入②得，
∴，………………5分
∴，，…………………6分
∴.………………………………7分
（3）本题主要考查确定值不等式、柯西不等式等基础学问，考查运算求解力气，考查函数与方程思想、化归与转化思想，满分7分
解：（Ⅰ）由点在轴上，所以，
又坐标满足，所以，………………2分
解得，…………………………………………………3分
所以点到原点的距离的最小值为1.. …………………4分
（Ⅱ）由点到坐标原点的距离为，
故， …………………………………………5分
由柯西不等式，得，………6分
即，
所以的最大值为6，当且仅当时取最大. …………7分
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