2021高考数学(福建-理)一轮学案22-简单的三角恒等变换.docx

学案22　简洁的三角恒等变换
导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并娴熟应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简洁的恒等变换．

自主梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝________________；
(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；
(3)tan 2α＝________________________ (α≠＋且α≠kπ＋)．
2．公式的逆向变换及有关变形
(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝；
(2)降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；
升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________；
变形：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝________________________.
自我检测
1．(2010·陕西)函数f(x)＝2sin xcos x是 (　　)
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
2．函数f(x)＝cos 2x－2sin x的最小值和最大值分别为 (　　)
A．－3,1 B．－2,2
C．－3， D．－2，
3．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是 (　　)
A．－1 B．－ C. D．1
4．(2011·清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sin A·sin B (　　)
A．有最大值，最小值0
B．有最小值，无最大值
C．既无最大值也无最小值
D．有最大值，无最小值

探究点一　三角函数式的化简
例1　求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．

变式迁移1　(2011·泰安模拟)已知函数f(x)＝.
(1)求f的值；
(2)当x∈时，求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值．

探究点二　三角函数式的求值
例2　已知sin(＋2α)·sin(－2α)＝，α∈(，)，求2sin2α＋tan α－－1的值．

变式迁移2　(1)已知α是第一象限角，且cos α＝，求的值．
(2)已知cos(α＋)＝，≤α<，求cos(2α＋)的值．

探究点三　三角恒等式的证明
例3　(2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；
(2)求f(x)的解析表达式；
(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．

变式迁移3　求证：
＝.

转化与化归思想的应用
例　(12分)(2010·江西)已知函数f(x)＝
sin2x＋msinsin.
(1)当m＝0时，求f(x)在区间上的取值范围；
(2)当tan α＝2时，f(α)＝，求m的值．
【答题模板】
解　(1)当m＝0时，f(x)＝sin2x
＝sin2x＋sin xcos x＝
＝，[3分]
由已知x∈，得2x－∈，[4分]
所以sin∈，[5分]
从而得f(x)的值域为.[6分]
(2)f(x)＝sin2x＋sin xcos x－cos 2x
＝＋sin 2x－cos 2x
＝[sin 2x－(1＋m)cos 2x]＋，[8分]
由tan α＝2，得sin 2α＝＝＝，
cos 2α＝＝＝－.[10分]
所以＝＋，[11分]
解得m＝－2.[12分]
【突破思维障碍】
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较简洁的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．

1．求值中主要有三类求值问题：
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但认真观看非特殊角与特殊角总有确定关系，解题时，要利用观看得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消退非特殊角的三角函数而得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：
(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，挂念元素法，“1”的代换法等．
(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，＝＋，是的二倍角等．
(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．
消退差异：消退已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．

(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·平顶山月考)已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于 (　　)
A. B．－ C. D．－
2．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于 (　　)
A. B. C. D.
3．(2011·石家庄模拟)已知cos 2α＝ (其中α∈)，则sin α的值为 (　　)
A. B．－ C. D．－
4．若f(x)＝2tan x－，则f的值为 (　　)
A．－ B．8
C．4 D．－4
5．(2010·福建厦门外国语学校高三其次次月考)在△ABC中，若cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，则sin B的值是 (　　)
A. B. C. D．1
题号
1
2
3
4
5
答案

二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010·全国Ⅰ)已知α为其次象限的角，且sin α＝，则tan 2α＝________.
7．函数y＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________．
8．若＝－，则cos α＋sin α的值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°；
(2).

10．(12分)(2011·南京模拟)设函数f(x)＝sin xcos x－cos xsin－.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．

11．(14分)(2010·北京)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．

答案 自主梳理
1．(1)2sin αcos α　(2)cos2α－sin2α　2cos2α　2sin2α
(3)　2.(1)sin 2α　(2)　　2cos2　2sin2　(sin α±cos α)2
自我检测
1．C　2.C　3.B　4.D
课堂活动区
例1　解题导引　化简的原则是形式简洁，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．
解　y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x
＝7－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x)
＝7－2sin 2x＋4cos2xsin2x
＝7－2sin 2x＋sin22x＝(1－sin 2x)2＋6，
由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6，
故当sin 2x＝－1时，y取得最大值10，
当sin 2x＝1时，y取得最小值6.
变式迁移1　解　(1)f(x)
＝
＝
＝＝＝2cos 2x，
∴f＝2cos＝2cos ＝.
(2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x
＝sin.
∵x∈，∴2x＋∈，
∴当x＝时，g(x)max＝，
当x＝0时，g(x)min＝1.
例2　解题导引　(1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；
(2)假如能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．
解　由sin(＋2α)·sin(－2α)
＝sin(＋2α)·cos(＋2α)
＝sin(＋4α)＝cos 4α＝，
∴cos 4α＝，又α∈(，)，故α＝，
∴2sin2α＋tan α－－1
＝－cos 2α＋
＝－cos 2α＋
＝－cos－＝.
变式迁移2　解　(1)∵α是第一象限角，cos α＝，
∴sin α＝.
∴＝
＝
＝＝＝－.
(2)cos(2α＋)＝cos 2αcos－sin 2αsin
＝(cos 2α－sin 2α)，
∵≤α<π，
∴≤α＋<π.
又cos(α＋)＝>0，
故可知π<α＋<π，
∴sin(α＋)＝－，
从而cos 2α＝sin(2α＋)
＝2sin(α＋)cos(α＋)
＝2×(－)×＝－.
sin 2α＝－cos(2α＋)
＝1－2cos2(α＋)
＝1－2×()2＝.
∴cos(2α＋)＝(cos 2α－sin 2α)＝×(－－)
＝－.
例3　解题导引　本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要留意观看、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特殊是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则简洁找到思路．证明三角恒等式的实质就是消退等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．
(1)证明　由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α]
＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，
∴tan(α＋β)＝2tan α.
(2)解　由(1)得＝2tan α，即＝2x，
∴y＝，即f(x)＝.
(3)解　∵角α是一个三角形的最小内角，
∴0<α≤，0<x≤，
设g(x)＝2x＋，则g(x)＝2x＋≥2(当且仅当x＝时取“＝”)．
故函数f(x)的值域为(0，]．
变式迁移3　证明　由于左边＝

＝
＝
＝＝
＝
＝＝＝右边．
所以原等式成立．
课后练习区
1．D　[∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，
∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝，
cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－.]
2．C　[由于α＋＋β－＝α＋β，
所以α＋＝(α＋β)－.
所以tan＝tan
＝＝.]
3．B　[∵＝cos 2α＝1－2sin2α，
∴sin2α＝.又∵α∈，
∴sin α＝－.]
4．B　[f(x)＝2tan x＋＝2tan x＋
＝＝
∴f＝＝8.]
5．C　[由cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化简变形，得2cos2B－3cos B＋1＝0，
∴cos B＝或cos B＝1(舍)．
∴sin B＝.]
6．－
解析　由于α为其次象限的角，又sin α＝，
所以cos α＝－，tan α＝＝－，
所以tan 2α＝＝－.
7．1－
解析　∵y＝2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋1＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1，
∴当sin(2x＋)＝－1时，函数取得最小值1－.
8.
解析　∵＝
＝－(sin α＋cos α)＝－，
∴cos α＋sin α＝.
9．解　(1)∵sin 2α＝2sin αcos α，
∴cos α＝，…………………………………………………………………………(2分)
∴原式＝···
＝＝.……………………………………………………………………(6分)
(2)原式＝………………………………………………………(9分)
＝＝＝tan4α.………………………………………………………(12分)
10．解　f(x)＝sin xcos x－cos xsin－
＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin－1.…………………………………………………………………………(4分)
(1)T＝＝π，故f(x)的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)
(2)由于0≤x≤，所以－≤2x－≤.
所以当2x－＝，即x＝时，f(x)有最大值0，
……………………………………………………………………………………………(10分)
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)有最小值－.
……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解　(1)f()＝2cos＋sin2－4cos
＝－1＋－2＝－.………………………………………………………………………(4分)
(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x
＝3cos2x－4cos x－1
＝3(cos x－)2－，x∈R.………………………………………………………………(10分)
由于cos x∈[－1,1]，
所以，当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；
当cos x＝时，f(x)取得最小值－.…………………………………………………(14分)