福建省泉港一中2021届高三高考围题卷数学(理)-Word版含答案.docx

泉港一中2021届高三高考围题卷
理 科 数 学
（满分150分 时间120分钟）
一，选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合A={0,2，a},B={a2},若A∪B=A，则a的值有（ ）
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（ ）
A.第一象限 B. 其次象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．某商场在今年元霄节的促销活动中，对3月5日9时至14
时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知
9时至10时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为
A．10万元 B．15万元
C．20万元 D．25万元
4. 若如下框图所给的程序运行结果为，那么推断框中应填入的关于的条件可以是( )

A． B． C． D．
5．如图，矩形的四个顶点
正弦曲线和余弦曲线在矩形内交于点F，向矩形区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列四个命题：
①“（）”成立的充要条件是“”；
②命题“若”的逆否命题是“若，则”；
③设是任意两个向量，则“”是“”的充分不必要条件；
④把函数的图像上全部的点向右平移个单位即可得到函数
的图像．其中正确命题的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
7．已知双曲线两个焦点为分别为，过点的直线与该双曲线的右支交于两点，且是等边三角形，则以点为圆心，与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
8．在《爸爸去哪儿》其次季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营伴随，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③全部参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有（ ）

A．80 种 B．70 种 C．40 种 D．10种
9．已知函数 ，若关于x的方程 有8个不同的实数根，则由点(b，c)确定的平面区域的面积为（ ）

A． B． C． D．
10.已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动，且，记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题：
① ； ②； ③
④函数在上是增函数，在上是减函数。其中为真命题的是（ ）
A. ①③ B．② ③ C．①④ D．②④
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
11. 二项式的开放式中常数项为
12. 已知x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为
13．已知，若，则 ．
14，已知O为△ABC的外心，AB=2， AC=4，cos∠BAC=.若，
则x+y=
15．对于集合，定义：
的“正弦方差”，则集合的“正弦方差”为 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16．（本小题满分13分）
设数列 的前n项和为 ，且 为等差数列 的前三项．
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和．

17．（本小题满分13分）
C1
A
B
A1
B1
D1
C
D
M
N
E
F
E1
F1

如图，已知六棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，，分别是棱，上的点，且．
（1）证明：，，，四点共面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

18. （本小题满分13分）
设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，； 当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，.
（1）求概率P（）；
（2）求的分布列，并求其数学期望E（）.

19（本小题满分13分）
已知椭圆C：，点P到两定点A(-1，0).B(1，0)的距离之比为，点B到直线PA的距离为1。
（I）求直线PB的方程；
（II）求证：直线PB与椭圆C相切；
（III）F1、F2分别为椭圆C的左右焦点，直线PB与椭圆C相切于点M，直线MF2交y轴于点N，求∠MF1N

20．(本小题满分14分)
如图①，一条宽为的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是，BC与河岸垂直，垂足为．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是万元、万元.
（Ⅰ）已知村庄A与B原来铺设有旧电缆，需要改造，旧电缆的改造费用是万元．现打算利用旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费 用的最小值．
（Ⅱ）如图②，点在线段AD上，且铺设电缆的线路为、、.若
（），试用表示出总施工费用（万元）的解析式，并求的最小值．

第20题图

21．（本题满分14分）
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
如图，矩形在变换的作用下变成了平行四边形，变换所对应的矩阵为，矩阵是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍所对应的变换矩阵。
(Ⅰ)求；(Ⅱ)推断矩阵是否存在特征值。

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
（为参数）,M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2，
(Ⅰ)求C2的方程；
(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.

（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲
已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为2.
（Ⅰ）求整数的值;
（Ⅱ）已知，若，求的最大值
高三适应性考试理科数学参考答案
1-5 CACDB 6-10 CACAC
11. －10 12. 13. 14. 15.
16解：（1）解法1∵
∴
∴，即，
又
∴数列为以1为首项，公比为的等比数列，…………………………………2分
∴，
∴，整理得，得……………………4分
∴，………………………………………………6分
解法2：∵
∴
∴，整理得，得………………………2分
∴
∴
∴，即，
又
∴数列为以1为首项，公比为2的等比数列，………………………………………4分
∴，
………………………………………………………………………6分
（2）
∴………………………①…………7分
∴………②…………8分
① —②得
…………………………………11分
整理得：…………………………………………………………13分
17．（本小题满分14分）
第（1）问用几何法，第（2）问用向量法：
C1
A
B
A1
B1
D1
C
D
M
N
E
F
E1
F1
（1）证明：连接，，，，
在四边形中，且，
在四边形中，且，
所以且，
所以四边形是平行四边形．
所以．………………………………2分
在△中，，，
所以，
所以．……………………………………………………………………4分
所以．
所以，，，四点共面．…………………………………………………6分

C1
A
B
A1
B1
D1
C
D
M
N
E
F
E1
F1
（2）解：以点为坐标原点，，，所在的直线
分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，
则，，，
，，………………8分
则，，
．…………………………………………………………………10分
设是平面的法向量，
则
即
取，则，．
所以是平面的一个法向量．…………………………………12分
设直线与平面所成的角为，
则

C1
A
B
A1
B1
D1
C
D
M
N
E
F
E1
F1
．
故直线与平面所成角的正弦值为．…………………………………13分
第（1）（2）问均用向量法：
（1）证明：以点为坐标原点，，，所在的直线
分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，
则，，，
，，，…2分
所以，．……3分
由于，且与不重合，
所以．…………………………………………5分
所以，，，四点共面．………………………………………………………6分
（2）解：由（1）知，，．………10分
（特殊说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）
设是平面的法向量，
则
即
取，则，．
所以是平面的一个法向量．…………………………………12分
设直线与平面所成的角为，
则
．
C1
A
B
A1
B1
D1
C
D
M
N
E
F
E1
F1
故直线与平面所成角的正弦值为．………………………………13分
第（1）（2）问均用几何法：
（1）证明：连接，，，，
在四边形中，且，
在四边形中，且，
所以且，
所以四边形是平行四边形．
所以．………………………………2分
在△中，，，
所以，
所以．…………………………………………………………………………4分
所以．
所以，，，四点共面．……………………………………………………6分
（2）连接，由于，
所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角．…………………7分
连接，设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，
则．…………………………………………………………………………8分
由于，即．………………………9分
在边长为3的正六边形中，，，
在△中，，，，
由余弦定理可得，．
在△中，，，所以．
在△中，，，所以．
在△中，，，，
由余弦定理可得，，所以．
所以．…………………………………10分
又，……………………………………………………………………………11分
所以．…………………………………………………………12分
所以．
故直线与平面所成角的正弦值为．………………………………13分
18．解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，共有8C对相交棱。
P（）=…………………………………5分
（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，
P，

随机变量的分布列是：

0
1

P

……………………11分
其数学期望。…………………………13分

19.解：(Ⅰ)过B作PA的垂线，垂足为C，
　　　∣AB∣＝２，∣BC∣＝１知，∠BAC=……………１分
在△PAB中，由正弦定理得，
　　　　　……………２分
　　　∵　∴,即直线PB的倾斜角为或，……３分
　　　所以直线PB的方程是y=x-1或y=-x+1.…………４分
　(Ⅱ)若PB方程为y=x-1，将y=x-1代入椭圆方程得，，
整理得，，解得，，……………………７分
所以直线y=x－1与椭圆C相切，同理直线y=－x+1与椭圆C也相切.……………８分
(III)设切点坐标，由（1）知，，
　设，其中，
　又设，则，，…………10分

　　　＝……………………12分
　∴,故……………………………………………13分

20.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知可得为等边三角形.由于，所以水下电缆的最短线路为.过作于E，可知地下电缆的最短线路为、. 2分 又，
故该方案的总费
（万元） …………5分
（Ⅱ）由于
所以. 6分
则， 8分
令则 ， 9分
由于，所以，
记
当，即≤时，
当，即<≤时， ，
所以，从而， 12分
此时，
因此施工总费用的最小值为（）万元，其中． 14分
21. 解：（Ⅰ）设，则
故 所以，
，，
（Ⅱ）由于矩阵MN的特征多项式
的判别式小于0，故矩阵不存在特征值。
（2）解 （I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以
即从而的参数方程为（为参数）
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为.所以.
（3）解（ I ），得 不等式的整数解为2， 又不等式仅有一个整数解2， …3分
（Ⅱ）明显
由柯西不等式可知：
所以即 当且仅当时取等号，最大值为 ………7分