东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：不等式选讲(3)B.docx

不等式选讲（2）（学案）B
一、 基本学问点：
(1).含有参数不等式的解法
例1:解关于x的不等式

例2、解关于x的不等式

(2). 不等式的证明方法:比较法（差0法，商1法）
例3;若实数，求证：

例4、已知求证

(3)不等式的证明方法：分析法、综合法
例1、都是正数。求证：

例2、设，求证

议一议：依据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？
例3、已知a，b，m都是正数，并且求证：

（4）.含参数不等式的恒成立
“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有确定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般的，若函数在定义域为D，则当x∈D时，有
恒成立；恒成立.
因而,含参数不等式的恒成立问题常依据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值争辩.
1．定义在R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有
恒成立，求实数m的取值范围.

变式一：条件改为：若对任意x∈R恒成立，
2．已知向量=(，x+1)，= (1-x，t)。若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。

(5)、能成立问题(部分成立)（存在性问题）
若在区间上存在实数使不等式f(x)>A成立,
即f(x)>A在区间上能成立, f(x) > A；
若在区间上存在实数使不等式f(x)<A成立,
即f(x)<A在区间上能成立, f(x) < A 。
例1．已知两个函数，其中为实数.
(1)若对任意的，都有成立，求的取值范围；
(2)若对任意的，都有，求的取值范围.
(3)若对于任意,总存在使得成立，求的取值范围.

例2．设函数，且在处取得极值。
（1）求实数的值
（2）若存在使不等式能成立，求实数m的最小值；

（6）、利用图形解不等式：
借助图形的直观性来争辩不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特殊是利用确定值和确定值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明白，挂念我们快速而精确地查找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否精确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。
例1．解不等式。

例2．画出不等式的图形，并指出其解的范围。

（7）含有参数不等式的解法
例1、解关于x的不等式

例2、解关于x的不等式

（8）、反证法：
但对于一些较简洁的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑接受间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。
反证法在于表明：若确定命题的条件而否定其结论，就会导致冲突。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先确定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的规律推理，而得到冲突，从而断定原来的结论是正确的。
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
其次步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定动身，应用证确的推理方法，推出冲突结果；
第四步 断定产生冲突结果的缘由，在于开头所作的假定不正确，于是原证不等式成立。
例1、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.

议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的冲突结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定冲突等各种状况。试依据上述两例，争辩查找冲突的手段、方法有什么特点？
例2、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不行能同时大于

（9）、不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式
所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。
下面我们通过一些简洁例证体会这种方法的基本思想。
例1、若是自然数，求证

例2、求证：

（10）柯西不等式
定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则
，
其中等号当且仅当时成立。

定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：

定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，商定，1，2，…，）。

柯西不等式有两个很好的变式：
变式1 设 ，等号成立当且仅当

变式2 设ai，bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则：，等号成立当且仅当。
（11）排序不等式
排序不等式的一般情形
一般地，设有两组实数：，，，…，与，，，…，，且它们满足：≤≤≤…≤，≤≤≤…≤，若，，，…，是，，，…，的任意一个排列，则和数在，，，…，与，，，…，同序时最大，反序时最小，即：
，
等号当且仅当或时成立。
例1、已知为正数，求证：。

例2、设，，，…，为正数，求证：。

（12）数学归纳法
数学归纳法:是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础；其次步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k＋1步的推证，要有目标意识。

例1、证明：。

例2、 设，，证明贝努利不等式：。

二、 方法提升：

三、反思感悟：

四 、课时作业：
1、 利用不等式的图形解不等式： ;

2、解下列不等式：（1） （2） 1

3．解不等式：

4．解不等式：

5．利用确定值的几何意义，解决问题：要使不等式<有解，要满足什么条件？

6.解关于x的不等式

7、若a, b, c, dÎR+，求证：

8、当 n > 2 时，求证：

9、已知，，求证：。

10、设，求证：。

11、在△ABC中，ha , hb ,hc 为边长a,b,c上的高，求证：asinA+bsinB+csinCha + hb +hc ．

12、若a>0,b>0，则．

13、在△ABC中，求证：．

14、设为正数，，证明：。

15、设数列{a}的前n项和为S，若对于全部的自然数n，都有S＝，证明{a}是等差数列。