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时间：45分钟 分值：75分
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．
1．(2021·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析 双曲线焦点位于x轴，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，而e＝＝，即＝＝，得＝，故渐近线方程为y＝±x，即选C.
答案 C
2．若不论k取何值，直线y＝k(x－2)＋m与双曲线x2－y2＝1总有公共点，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析 直线过点M(2，m)，不妨设直线x＝2与双曲线相交于A，B两点，且A(2，－)，B(2，)．结合图象可知，当且仅当点M在线段AB上时，不论k取何值，直线与双曲线总有公共点，所以－≤m≤.故选B.
答案 B
3．(2021·全国大纲卷)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是，那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 A1(－2,0)，A2(2,0)，上顶点B1(0，)，若P位于B1处，kPA2＝－>－1，由图象分析P位于第一象限，设P(x0，y0)，则y0＝，因此kPA2＝－，由kPA2∈得∈，从而kPA1＝∈，故选B.
答案 B
4．已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则|AB|·|CD|的值正确的是( )
A．等于1 B．最小值是1
C．等于4 D．最大值是4
解析 设直线l：x＝ty＋1，代入抛物线方程，
得y2－4ty－4＝0.
设A(x1，y1)，D(x2，y2)，
依据抛物线定义|AF|＝x1＋1，|DF|＝x2＋1，
故|AB|＝x1，|CD|＝x2，
所以|AB|·|CD|＝x1x2＝·＝.
而y1y2＝－4，代入上式，
得|AB|·|CD|＝1，故选A.
答案 A
5．在周长为16的△PMN中，|MN|＝6，则·的取值范围是( )
A． D．
答案 D
6．(2021·全国卷Ⅱ)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
解析 特殊状况a＝1时，直线为y＝x＋b与x轴交于(－b,0)，与直线BC：x＋y＝1交于，结合图形可知×(1＋b)＝，解得b＝－1；<－1<，排解C.考虑到极限位置，即a＝0时，y＝b与y轴交于(0，b)得(1－b)2＝，即b＝1－，故选B.
答案 B
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．
7．已知点M与双曲线－＝1的左，右焦点的距离之比为2：3，则点M的轨迹方程为________．
解析 由题意得a2＝16，b2＝9，c2＝16＋9＝25.
∴F1(－5,0)，F2(5,0)．
设M(x，y)，有＝，即＝.整理即可得解．
答案 x2＋y2＋26x＋25＝0
8．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)，到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
解析 依据抛物线的性质得1＋＝5，∴p＝8.
不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1.故a＝.
答案
9．(2021·浙江卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．
解析 设直线l的方程为x＝ty－1，联立得y2－4ty＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝4，所以yQ＝2t，将yQ代入x＝ty－1得xQ＝2t2－1，|FQ|2＝(xQ－1)2＋y＝4，代入得t＝0(舍)或t＝±1，所以直线的斜率为±1.
答案 ±1
三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
10．(本小题10分)(2021·安徽卷)设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．
(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．
解 (1)由于焦距为1，所以2a2－1＝，解得a2＝.
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝.
由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝，
直线F2P的斜率kF2P＝.
故直线F2P的方程为y＝(x－c)．
当x＝0时，y＝，即点Q坐标为.
因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝.
由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝·＝－1.
化简得y＝x－(2a2－1)．①
将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y＝1上．
11．(本小题10分)(2021·辽宁卷)如图所示，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.
(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
解 (1)由于抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，所以A点坐标为，故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.
由于点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是
y0＝－(2－)＋＝－，①
y0＝－＝－.②
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，A，B，x1≠x2，由N为线段AB中点知x＝，③
y＝.④
切线MA，MB的方程为
y＝(x－x1)＋.⑤
y＝(x－x2)＋.⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0＝，y0＝.
由于点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，所以x1x2＝－.⑦
由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O， AB中点N为O，坐标满足x2＝y.
因此线段AB中点N的轨迹方程为x2＝y.
12．(本小题10分)(2021·福建厦门质检)已知椭圆C：＋＝1(a>)的右焦点F在圆D：(x－2)2＋y2＝1上，直线l：x＝my＋3(m≠0)交椭圆于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若⊥(O为坐标原点)，求m的值；
(3)设点N关于x轴的对称点为N1(N1与点M不重合)，且直线N1M与x轴交于点P，试问△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题设知，圆D：(x－2)2＋y2＝1的圆心坐标是(2,0)，半径是1，
故圆D与x轴交于两点(3,0)，(1,0)．
所以，在椭圆中c＝3或c＝1，又b2＝3，
所以，a2＝12或a2＝4(舍去，∵a>)．
于是，椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)；
直线l与椭圆C方程联立
化简并整理得(m2＋4)y2＋6my－3＝0，
∴y1＋y2＝，y1·y2＝.
∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋6＝，
x1·x2＝m2y1y2＋3m(y1＋y2)＋9＝＋＋9＝.
∵⊥，∴·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，得＝0.
∴m2＝，m＝±.
(3)∵M(x1，y1)，N1(x2，－y2)，
∴直线N1M的方程为＝.
令y＝0，则x＝＋x1＝
＝＝＝＝4；
∴P(4,0)．
S△PMN＝|FP|·|y1－y2|
＝·1·
＝·
＝2
＝2≤2·＝1.
当且仅当m2＋1＝3，即m＝±时等号成立，
故△PMN的面积存在最大值1.
(或S△PMN＝2·
＝2·.
令t＝∈，
则S△PMN＝2·
＝2·≤1.
当且仅当t＝∈时等号成立，此时m2＝2，
故△PMN的面积存在最大值1.)
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