2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第5篇-第3讲-等比数列及其前n项和.docx

第3讲　等比数列及其前n项和
[最新考纲]
1．理解等比数列的概念，把握等比数列的通项公式及前n项和公式．
2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关学问解决相应的问题．
3．了解等比数列与指数函数的关系.

知 识 梳 理
1．等比数列的有关概念
(1)等比数列的定义
假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
数学语言表达式：＝q(n≥2)，q为常数．
(2)等比中项
假如a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3．等比数列及前n项和的性质
(1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
(4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
辨 析 感 悟
1．对等比数列概念的理解
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(×)
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(×)
(3)若三个数成等比数列，那么这三个数可以设为，a，aq.(√)
2．通项公式与前n项和的关系
(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(×)
(5)(2021·新课标全国Ⅰ卷改编)设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝3－2an.(√)
3．等比数列性质的活用
(6)假如数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(×)
(7)(2022·兰州模拟改编)在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8a9a10a11＝25.(√)
(8)(2021·江西卷改编)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于－2或0.(×)
[感悟·提升]
1．一个区分　等差数列的首项和公差可以为零，且等差中项唯一；而等比数列首项和公比均不为零，等比中项可以有两个值．如(1)中的“常数”，应为“同一非零常数”；(2)中，若b2＝ac，则不能推出a，b，c成等比数列，由于a，b，c为0时，不成立．
2．两个防范　一是在运用等比数列的前n项和公式时，必需留意对q＝1或q≠1分类争辩，防止因忽视q＝1这一特殊情形而导致解题失误，如(4)．
二是运用等比数列的性质时，留意条件的限制，如(6)中当＝q＜0时，ln an＋1－ln an＝ln q无意义.
同学用书第85页

考点一　等比数列的判定与证明
【例1】 (2021·济宁测试)设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn＝2an－3n，设bn＝an＋3.
求证：数列{bn}是等比数列，并求an.
证明　由Sn＝2an－3n对于任意的正整数都成立，
得Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)，
两式相减，得Sn＋1－Sn＝2an＋1－3(n＋1)－2an＋3n，
所以an＋1＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝2an＋3，
所以an＋1＋3＝2(an＋3)，即＝＝2对一切正整数都成立，所以数列{bn}是等比数列．
由已知得：S1＝2a1－3，即a1＝2a1－3，所以a1＝3，
所以b1＝a1＋3＝6，即bn＝6·2n－1.
故an＝6·2n－1－3＝3·2n－3.
规律方法 证明数列{an}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明a＝an－1·an＋1.若推断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．
【训练1】 (2021·陕西卷)设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
解　(1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝
(2)假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知冲突．
∴假设不成立，
∴{an＋1}不是等比数列．
考点二　等比数列基本量的求解
【例2】 (2021·湖北卷)已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．
审题路线　(1)建立关于a1与q的方程组可求解．
(2)分两种状况，由an⇒⇒再用等比数列求和求⇒得到结论．
解　(1)设等比数列{an}的公比为q，
则由已知可得
解得或
故an＝·3n－1或an＝－5·(－1)n－1.
(2)若an＝·3n－1，则＝n－1，
则是首项为，公比为的等比数列．
从而＝＝·<<1.
若an＝－5·(－1)n－1，则＝－(－1)n－1，
故是首项为－，公比为－1的等比数列，
从而＝
故<1.
综上，对任何正整数m，总有<1.
故不存在正整数m，使得＋＋…＋≥1成立．
规律方法 等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于娴熟把握等比数列的有关公式并能机敏运用，尤其需要留意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应当要分类争辩，有时还应擅长运用整体代换思想简化运算过程．
【训练2】 (1)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________．
(2)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________.
解析　(1)明显公比q≠1，由题意可知＝，解得q＝2，则数列是以1为首项，为公比的等比数列，由求和公式可得数列的前5项和T5＝.
(2)明显公比q≠1，由题意得
解得或(舍去)，
∴S5＝＝＝.
答案　(1)　(2)

考点三　等比数列性质的应用
【例3】 (1)(2022·新课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)．
A．7 B．5 C．－5 D．－7
(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.
解析　(1)由已知得解得或
当a4＝4，a7＝－2时，易得a1＝－8，a10＝1，从而a1＋a10＝－7；
当a4＝－2，a7＝4时，易得a10＝－8，a1＝1，从而a1＋a10＝－7.
(2)由＝，a1＝－1知公比q≠1，则＝－.
由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，q＝－.
答案　(1)D　(2)－
规律方法 娴熟把握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要擅长类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．
【训练3】 (1)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为 (　　)．
A．－3 B．±3
C．－3 D．±3
(2)(2022·昆明模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7＝(　　)．
A．4 B．6 C．8 D．8－4
解析　(1)由等比中项知y2＝3，∴y＝±，
又∵y与－1，－3符号相同，∴y＝－，y2＝xz，
所以xyz＝y3＝－3.
(2)由等比数列性质，得a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8.
答案　(1)C　 (2)C

1．等比数列的判定方法有以下几种：
(1)定义：＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
(2)通项公式：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
(3)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
2．方程观点以及基本量(首项a1和公比q)思想仍旧是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二．
3．在求解与等比数列有关的问题时，除了要机敏地运用定义和公式外，还要留意等比数列性质的应用，以削减运算量而提高解题速度．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

教你审题6——如何确定数列中的项
【典例】 (2022·山东卷)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.❶
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm❷，求数列{bm}的前m项和Sm.
[审题]　一审条件❶：依据性质转化为先求a4，再结合a9求a1和d.
二审条件❷：转化为求{bm}的通项公式，尽而再求Sm.
三审结构：由9m＜an＜92m得9m－1＋1≤n≤92m－1.
解　(1)由a3＋a4＋a5＝84，可得3a4＝84，即a4＝28，而a9＝73，则5d＝a9－a4＝45，即d＝9.又a1＝a4－3d＝28－27＝1，所以an＝1＋(n－1)×9＝9n－8，即an＝9n－8(n∈N*)．
(2)对任意m∈N*,9m＜9n－8＜92m，则9m＋8＜9n＜92m＋8，
即9m－1＋＜n＜92m－1＋，而n∈N*，所以9m－1＋1≤n≤92m－1.
由题意，可知bm＝92m－1－9m－1.
于是Sm＝b1＋b2＋…＋bm＝91＋93＋…＋92m－1－(90＋91＋…＋9m－1)＝－＝－＝，
即Sm＝.
[反思感悟] 本题第(2)问设置了落入区间内的项构成新数列，这是对考生数学力量的挑战，由通项公式及已知区间建立不等式求项数，进而得到所求数列{bm}的通项公式是解答该问题的核心与关键．
【自主体验】
(2022·许昌模拟)已知点(1,2)是函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}前2 013项中的第3项，第6项，…，第3k项删去，求数列{an}前2 013项中剩余项的和．
解　(1)把点(1,2)代入函数f(x)＝ax，得a＝2.
∴Sn＝f(n)－1＝2n－1，
当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n －1，阅历证可知n＝1时，也适合上式，∴an＝2n－1.
(2)由(1)知数列{an}为等比数列，公比为2，故其第3项，第6项，…，第2 013项也为等比数列，首项a3＝23－1＝4，公比23＝8，a2 013＝22 102＝4×8671－1为其第671项，∴此数列的和为＝，又数列{an}的前2 013项和为S2 103＝＝22 013－1，
∴所求剩余项的和为(22 013－1)－＝.

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．(2021·六安二模)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，n∈N*，则 (　　)．
A．{an}是递增的等比数列
B．{an}是递增数列，但不是等比数列
C．{an}是递减的等比数列
D．{an}不是等比数列，也不单调
解析　∵Sn＝3n－2，∴Sn－1＝3n－1－2，
∴an＝Sn－Sn－1＝3n－2－(3n－1－2)＝2×3n－1(n≥2)，
当n＝1时，a1＝S1＝1不适合上式，但a1＜a2＜a3＜….
答案　B
2．(2022·广州模拟)已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn.若S3＝，则S6等于 (　　)．
A. B. C．63 D.
解析　S3＝＝7a1＝，所以a1＝.所以S6＝＝63a1＝.
答案　B
3．(2021·新课标全国Ⅱ卷)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝ (　　)．
A. B．－ C. D．－
解析　由题知q≠1，则S3＝＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝.
答案　C
4．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为 (　　)．
A．1 B．－ C．1或－ D．－1或
解析　依据已知条件
得＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或－.
答案　C
5．(2022·浙江十校联考)若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m∶n值为 (　　)．
A. B. C．2 D．4
解析　设方程x2－5x＋m＝0的两根为x1，x2，方程x2－10x＋n＝0的两根为x3，x4.
则由题意知x1＝1，x2＝4，x3＝2，x4＝8，∴m＝4，n＝16，∴m∶n＝.
答案　A
二、填空题
6．(2022·江西九校联考)实数项等比数列{an}的前n项的和为Sn，若＝，则公比q等于________．
解析　首先q≠1，由于若q＝1，则＝2，当q≠1时，＝＝＝＝，q5＝－，q＝－.
答案　－
7．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________.
解析　∵a1＋a2＝a1(1＋q)＝30，a3＋a4＝a1q2(1＋q)＝60，∴q2＝2，∴a7＋a8＝a1q6(1＋q)＝[a1(1＋q)]·(q2)3＝30×8＝240.
答案　240
8．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．
解析　由已知条件，得2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，
即2Sn＝2Sn＋2an＋1＋an＋2，即＝－2.
答案　－2
三、解答题
9．在数列{an}中，已知a1＝－1，且an＋1＝2an＋3n－4(n∈N*)．
(1)求证：数列{an＋1－an＋3}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn.
(1)证明　令bn＝an＋1－an＋3，
则bn＋1＝an＋2－an＋1＋3＝2an＋1＋3(n＋1)－4－2an－3n＋4＋3＝2(an＋1－an＋3)＝2bn，即bn＋1＝2bn.
由已知得a2＝－3，于是b1＝a2－a1＋3＝1≠0.
所以数列{an＋1－an＋3}是以1为首项，2为公比的等比数列．
(2)解　由(1)可知bn＝an＋1－an＋3＝2n－1，
即2an＋3n－4－an＋3＝2n－1，
∴an＝2n－1－3n＋1(n∈N*)，
于是Sn＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)－3(1＋2＋3＋…＋n)＋n＝－3×＋n＝2n－－1.
10．(2021·济南期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＝4，a3＋a4＝17.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋2，证明数列{bn}是等比数列并求其前n项和Tn.
解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由题意知
解得a1＝1，d＝3，
∴an＝3n－2(n∈N*)．
(2)证明：由题意知，bn＝2an＋2＝23n(n∈N*)，
bn－1＝23(n－1)＝23n－3(n∈N*，n≥2)，
∴＝＝23＝8(n∈N*，n≥2)，又b1＝8，
∴{bn}是以b1＝8，公比为8的等比数列，
Tn＝＝(8n－1)．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．(2022·兰州模拟)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是 (　　)．
A．－ B．－5 C．5 D.
解析　由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，得log3an＋1－log3an＝1且an＞0，即log3＝1，解得＝3，所以数列{an}是公比为3的等比数列．由于a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3，所以a5＋a7＋a9＝9×33＝35.所以log(a5＋a7＋a9)＝log35＝－log335＝－5.
答案　B
2．(2022·山东省试验中学诊断)在各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则2a7＋a11的最小值是 (　　)．
A．16 B．8 C．2 D．4
解析　由题意知a4·a14＝(2)2＝a，即a9＝2.设公比为q(q＞0)，所以2a7＋a11＝＋a9q2＝＋2q2≥
2＝8，当且仅当＝2q2，即q＝时取等号，其最小值为8.
答案　B
二、填空题
3．(2021·江苏卷)在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为________．
解析　由已知条件得q＋q2＝3，即q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3(舍去)，
an＝a5qn－5＝×2n－5＝2n－6，a1＋a2＋…＋an＝(2n－1)，a1a2…an＝2－52－42－3…2n－6＝，
由a1＋a2＋…＋an>a1a2…an，可知2n－5－2－5>，可求得n的最大值为12，而当n＝13时，28－2－5<213，所以n的最大值为12.
答案　12
三、解答题
4．已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
解　(1)设等比数列{an}的公比为q，
由于S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，
即4a5＝a3，于是q2＝＝.
又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.
故等比数列{an}的通项公式为
an＝×n－1＝(－1)n－1·.
(2)由(1)得Sn＝1－n＝
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，
所以1<Sn≤S1＝，
故0<Sn－≤S1－＝－＝.
当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，
所以＝S2≤Sn<1，故0>Sn－≥S2－＝－＝－.
综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤.
所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.