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第5讲 变量的相关性、回归分析和独立性检验
A级训练
(完成时间：15分钟)
1.下面哪些变量是相关关系( )
A．出租车车费与行驶的里程
B．房屋面积与房屋价格
C．身高与体重
D．铁块的大小与质量
2.对四组变量y和x进行线性相关性检验，其相关系数分别是：第①组r1＝0.995，第②组r2＝0.3012，第③组r3＝0.4491，第④组r4＝－0.9534，则可以判定变量y和x具有较强的线性相关关系的是( )
A．第①、②组 B．第①、④组
C．第②、④组 D．第③、④组
3.在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是( )
A．(1)(2) B．(1)(3)
C．(2)(4) D．(2)(3)
4.设某高校的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，依据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该高校某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该高校某女生身高为170 cm，则可断定其体重为58.79 kg
5.利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度．假如k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为 .
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
6.线性回归方程y＝bx＋a中，b的意义是 x每增加一个单位，y增加b个单位 .
7.在对人群的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中21人主要的休闲方式是看电视，其余男性的主要休闲方式是运动．
(1)依据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)推断性别与休闲方式是否有关系，并说明理由．
B级训练
(完成时间：20分钟)
1.[限时2分钟，达标是( )否( )]
(2022·湖北)依据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为＝bx＋a，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
2.[限时2分钟，达标是( )否( )]
在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的序号是(参考数据：P(K2≥6.635)＝0.01)( )
①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系．
②若K2的观测值满足K2≥6.635，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病．
③从独立性检验可知，假如有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病．
④从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断毁灭错误．
A．① B．①④
C．②③ D．①②③④
3.[限时2分钟，达标是( )否( )]
假设关于某种汽车的使用年限x和所支出的修理费用y(万元)有如表统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
依据上表可得回归方程y ＝1.23x＋a，据此模型估量使用年限为10年时，修理费约为 12.38 万元．(结果保留两位小数)
4.[限时2分钟，达标是( )否( )]
某高校“统计初步”课程的老师随机调查了选该课的一些同学状况，具体数据如下表．为了检验主修统计专业是否与性别有关系，依据表中的数据，得到K2＝≈4.84，由于K2＞3.841，所以断定主修统计专业与性别有关系，这种推断出错的可能性最高为 5% .
专业
性别
非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
P(K2≥k)
0.050
0.025
0.010
0.001
k
3.841
5.024
6.635
10.828
5.[限时5分钟，达标是( )否( )]
某校为了解高二同学A，B两个学科学习成果的合格状况是否有关，随机抽取了该班级一次期末考试A，B两个学科的合格人数与不合格人数，得到以下2×2列联表：
A学科
合格人数
A学科
不合格人数
合计
B学科
合格人数
40
20
60
B学科
不合格人数
20
30
50
合计
60
50
110
(1)据此表格资料，你认为有多大把握认为“A学科合格”与“B学科合格”有关；
(2)从“A学科合格”的同学中任意抽取2人，记被抽取的2名同学中“B学科合格”的人数为X，求X的数学期望．
附公式与表：K2＝；
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
6.[限时7分钟，达标是( )否( )]
(2022·安徽)某高校共有同学15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校同学每周平均体育运动时间的状况，接受分层抽样的方法，收集300位同学每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)依据这300个样本数据，得到同学每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，估量该校同学每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并推断是否有95%的把握认为“该校同学的每周平均体育运动时间与性别有关”.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
附：K2＝.
C级训练
(完成时间：9分钟)
1.[限时3分钟，达标是( )否( )]
以下四个命题：
①在一次试卷分析中，从每个试室中抽取第5号考生的成果进行统计，是简洁随机抽样；
②样本数据：3,4,5,6,7的方差为2；
③对于相关系数r，|r|越接近1，则线性相关程度越强；
④通过随机询问110名性别不同的行人，对过大路是情愿走斑马线还是情愿走人行天桥进行抽样调查，得到如下列联表：
男
女
总计
走天桥
40
20
60
走斑马线
20
30
50
总计
60
50
110
附表：
P(K2≥k)
0.05
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
由K2＝可得
K2＝≈7.8.
则有99%以上的把握认为“选择过大路方式与性别有关”．
其中正确的命题序号是 ②③④ .
2.[限时6分钟，达标是( )否( )]
2021年4月14日，CCTV财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了争辩使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某高校试验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：
混凝土耐
久性达标
混凝土耐
久性不达标
总计
使用
淡化海砂
25
5
30
使用未经
淡化海砂
15
15
30
总计
40
20
60
(1)依据表中数据，利用独立性检验的方法推断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？
(2)若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？
参考数据：
P(K2≥k)
0.10
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
第5讲 变量的相关性、回归分析和独立性检验
【A级训练】
1．C
2．B 解析：由于|r|越接近1，表明两个变量的线性相关性越强，因此B选项正确，故选B.
3．D 解析：图形应为散点图，且成带状分布．
4．D 解析：由回归方程为y＝0.85x－85.71知y随x的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程的过程知y＝bx＋a＝bx＋－b(a＝－b)，所以回归直线过样本点的中心(，)，利用回归方程可以猜想估量总体，所以D不正确，故选D.
5．97.5% 解析：从表中可知，当k＝5.024时，对应的P(K2≥k)为0.025，所以“X和Y有关系”的百分比为97.5%.
6．x每增加一个单位，y增加b个单位
7．解析：(1)2×2列联表为
看电视
运动
总计
女
43
27
70
男
21
33
54
合计
64
60
124
(2)K2＝
＝≈6.2.
设H1：性别与不同休闲方式有关系．
假设H0：性别与不同的休闲方式没有关系，在H0的前提下，K2应当很小，
而P(K2≥5.024)≈0.025.
所以有97.5%的把握认为性别与不同的休闲方式之间有关系．
【B级训练】
1．B 解析：作出散点图如下：
观看图象可知，回归直线＝bx＋a的斜率b<0，当x＝0时，＝a>0.故a>0，b<0.
2．B
3．12.38 解析：由表格可知，
＝＝4，
＝＝5，
所以这组数据的样本中心点是(4,5)，
依据样本中心点在线性回归直线上，
所以5＝a＋1.23×4，所以a＝0.08，
所以这组数据对应的线性回归方程是y ＝1.23x＋0.08.
由于x＝10，所以y＝1.23×10＋0.08＝12.38.
4．5%
5．解析：(1)K2＝≈7.822>6.635，
所以，有99%的把握认为“A学科合格”与“B学科合格”有关．
(2)由题意可知：X可以取0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以EX＝＋2×＝.
6．解析：(1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得1－2×(0.025＋0.100)＝0.75，所以该校同学每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估量值为0.75.
(3)由(2)知，300位同学中有300×0.75＝225(人)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又由于样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
男生
女生
总计
每周平均体育运动
时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动
时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得
K2＝＝≈4.762＞3.841.
所以，有95%的把握认为“该校同学的每周平均体育运动时间与性别有关”．
【C级训练】
1．②③④ 解析：①系统抽样的特点是从数目比较多，比较均衡的个体中抽取确定的样本，并且抽取的样本具有确定的规律性．在一次试卷分析中，从每个试室中抽取第5号考生的成果进行统计，这是一个系统抽样，故①错；
②(3＋4＋5＋6＋7)÷5＝25÷9＝5，s2＝×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，故②正确；
③依据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数r进行推断：|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱，故③正确；
④由题意，K2≈7.8，由于7.8＞6.635，所以有0.01＝1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“选择过大路的方式与性别有关”，故④正确．
2．解析：(1)假设：是否使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关，由已知数据可求得：
K2＝＝7.5>6.635，
因此，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关．
(2)用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，
其中应抽取“混凝土耐久性达标”的为×6＝5，“混凝土耐久性不达标”的为1.
“混凝土耐久性达标”的记为A1，A2，A3，A4，A5，
“混凝土耐久性不达标”的记为B.
从这6个样本中任取2个，有C＝15，
设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为大事A，
它的对立大事为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，
包含(A1，B)，(A2，B)，(A3，B)，(A4，B)，(A5，B)共5种可能，
所以P(A)＝1－P()＝1－＝，
则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是.
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