资源描述
大庆铁人中学高三学年上学期期中考试
文科数学试题
试卷说明：
1、本试卷满分150分，答题时间120分钟。
2、请将答案直接填涂在答题卡上，考试结束只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N等于( )
A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2}
2．“假如x、y∈R，且x2＋y2＝0，则x、y全为0”的否命题是( )
A．若x、y∈R且x2＋y2≠0，则x、y全不为0
B．若x、y∈R且x2＋y2≠0，则x、y不全为0
C．若x、y∈R且x、y全为0，则x2＋y2＝0
D．若x、y∈R且x、y不全为0，则x2＋y2≠0
3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－
C．y＝()x D．y＝x＋
4．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
5．函数f(x)＝ 的最小正周期和振幅分别是( )
A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2
6．已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于( )
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
7．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A. B.
C. D.
8．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于( )
A．3×44 B．3×44＋1
C．45 D．45＋1
9．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(0，) B．(0，]
C．[0，) D．[0，]
10．已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，且B＝，则cosA－cosC的值为( )
A．± B．
C． D．±
11．已知函数f(x)＝logax(0<a<1)的导函数为f ′(x)，M＝f ′(a)，N＝f(a＋1)－f(a)，P＝f ′(a＋1)，Q＝f(a＋2)－f(a＋1)，则M、N、P、Q中最大的数是( )
A．M B．N
C．P D．Q
12.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD＝3，点P为△BCD内(含边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的最大值等于( )
A． B．
C． D．1
第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知|a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为45°，且λb－a与a垂直，则实数λ＝________.
14.若幂函数f(x)的图象经过点A，设它在A点处的切线为l，则过点A与l垂直的直线方程为________．
15．已知实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于__________.
16．已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则实数m的取值范围为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题10分）在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
18．（本小题12分）已知函数f(x)＝sin＋sin－2cos2x.
(1)求函数f(x)的值域及最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
19．（本小题12分）如图，四边形ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AF＝BE＝2，EF＝4，AB＝2，ABCD是矩形．AD⊥平面ABEF，其中Q，M分别是AC，EF的中点，P是BM中点．
(1)求证：PQ∥平面BCE；
(2)求证：AM⊥平面BCM；
(3)求点F到平面BCE的距离．
20.（本小题12分）已知正项数列{an}，{bn}满足：a1＝3，a2＝6，{bn}是等差数列，且对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列．
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求Sn＝＋＋…＋，
21.（本小题12分）椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
22.（本小题12分）已知函数f(x)＝(ax－a＋2)·ex(其中a∈R)
(1)求f(x)在[0,2]上的最大值；
(2)若函数g(x)＝a2x2－13ax－30，求a所能取到的最大正整数，使对任意x>0，都有2f′(x)>g(x)恒成立．
DBACA CDADD DB
13． 14. 4x＋4y－3＝0 15． 2 16． (－3，－2)
17．解 (1)在△ABC中，由正弦定理
＝⇒＝＝，
∴cos A＝.
(2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A⇒32＝(2)2＋c2－2×2c×，
则c2－8c＋15＝0.
∴c＝5或c＝3.
当c＝3时，a＝c，∴A＝C.
由A＋B＋C＝π，知B＝，与a2＋c2≠b2冲突．
∴c＝3舍去．故c的值为5.
18． (1)f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin2x－cos2x－(cos2x＋1)
＝2－1＝2sin－1.
由－1≤sin≤1得，
－3≤2sin－1≤1.
可知函数f(x)的值域为[－3,1]．
且函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)解得，
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以y＝f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
19．
(1)由于AB∥EM，且AB＝EM，所以四边形ABEM为平行四边形．
连接AE，则AE过点P，且P为AE中点，又Q为AC中点，
所以PQ是△ACE的中位线，于是PQ∥CE.
∵CE⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
(2)AD⊥平面ABEF⇒BC⊥平面ABEF⇒BC⊥AM.
在等腰梯形ABEF中，由AF＝BE＝2，EF＝4，AB＝2，
可得∠BEF＝45°，BM＝AM＝2，
∴AB2＝AM2＋BM2，∴AM⊥BM.
又BC∩BM＝B，∴AM⊥平面BCM.
(3)解法一：点F到平面BCE的距离是M到平面BCE的距离的2倍，
∵EM2＝BE2＋BM2，∴MB⊥BE，
∵MB⊥BC，BC∩BE＝B，
∴MB⊥平面BCE，∴d＝2MB＝4.
解法二：VC－BEF＝S△BEF·BC＝BC，
VF－BCE＝S△BCE·d＝BC．
∵VC－BEF＝VF－BCE，∴d＝4.
20. 解 (1)∵对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列，且数列{an}，{bn}均为正项数列，
∴an＝bnbn＋1(n∈N*)．
由a1＝3，a2＝6得
又{bn}为等差数列，即有b1＋b3＝2b2，
解得b1＝，b2＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
∴数列{bn}的通项公式为bn＝(n∈N*)．
(2)由(1)得，对任意n∈N*，
an＝bnbn＋1＝，
从而有＝＝2(－)，
∴Sn＝2[(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝1－
21 (1)由题意得：e＝＝，①
左焦点(－c,0)到点P(2,1)的距离为
＝，②
由①②可解得c＝1，a＝2，b2＝a2－c2＝3.
∴所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝kx＋m代入椭圆方程得，
(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
且y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m.
∵AB为直径的圆过椭圆右顶点A2(2,0)，
∴·＝0.
∴(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(x1－2)(x2－2)＋(kx1＋m)(kx2＋m)
＝(k2＋1)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4
＝(k2＋1)·－(km－2)·＋m2＋4＝0.
整理得7m2＋16km＋4k2＝0.
∴m＝－k或m＝－2k都满足Δ>0.
当m＝－2k时，直线l的方程为y＝kx－2k＝k(x－2)，
恒过定点A2(2,0)，不合题意，舍去．
当m＝－k时，直线l的方程为y＝kx－k，即y＝k(x－)，恒过定点(，0)．
22. (1)f(x)＝(ax－a＋2)·ex，f′(x)＝(ax＋2)·ex，
当a≥0时，f′(x)在[0,2]上恒正，f(x)单调递增，最大值为f(2)＝(a＋2)e2，
当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝－.
所以当－1≤a<0时，仍有f(x)在[0,2]上为增函数，最大值为f(2)＝(a＋2)e2
当a<－1时，f(x)在[0，－]上为增函数，在[－，2]上为减函数，
最大值为f(－)＝－ae－.
综上有，f(x)max＝
(2)g(x)＝a2x2－13ax－30＝(ax＋2)(ax－15)，
所以只需要2ex>ax－15即可，
记h(x)＝2ex－ax＋15，则h′(x) ＝2ex－a，
故h(x)在(0，ln)上单调递减，在(ln，＋∞)上单调递增，则h(x)min＝a－aln＋15.
记k(x)＝x－xln＋15，则k′(x)＝－ln，
故k(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，
在(2，＋∞)上取2e2，有k(2e2)＝15－2e2>0，
又k(15)＝15(2－ln)<0，故存在x0∈(2e2,15)使k(x0)＝0，
而2e2∈(14,15)，所以当a＝14时可保证h(x)min>0，有2f′(x)>g(x)恒成立，
当a＝15时h(x)min<0，不能有2f′(x)>g(x)恒成立，
所以a所能取到的最大正整数为14.
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