资源描述
[基础达标]
1．(2022·山西临汾一模)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优待10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
解析：选D．设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.
2．(2022·广东广州模拟)在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
解析：选D．依据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排解A；依据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排解B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．
3．(2021·高考陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )
A．[15，20] B．[12，25]
C．[10，30] D．[20，30]
解析：选C．设矩形的另一边长为y m，
则由三角形相像知，＝，
∴y＝40－x.
∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，
∴x2－40x＋300≤0，
∴10≤x≤30.
4．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，其次个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
解析：选C．依据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．
5. (2022·河南郑州市第一次质量检测)图中阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是( )
解析：选B．由图知，随着h的增大，阴影部分的面积S渐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B．
6．(2022·河南焦作调研)某商人购货，进价已按原价a扣去25%.他期望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为________．
解析：设新价为b，依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化简得b＝A．∴y＝b·20%·x＝a·20%·x，即y＝x(x∈N*)．
答案：y＝x(x∈N*)
7．(2022·黑龙江哈尔滨一模)现有含盐7%的食盐水为200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是________．
解析：依据已知条件设y＝×100%，令5%＜y＜6%，即(200＋x)·5%＜200×7%＋x·4%＜(200＋x)·6%，解得100＜x＜400.
答案：(100，400)
8．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量快速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度削减，为了保障交通平安，某地依据《道路交通平安法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)
解析：设至少经过x小时才能开车．
由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，
∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈5.
答案：5
9．(2022·福建宁德调研)有一种新型的洗衣液，去污速度特殊快．已知每投放k(1≤k≤4，且k∈R)个单位的洗衣液在确定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y＝k·f(x)，其中f(x)＝若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．依据阅历，当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效去污的作用．
(1)若只投放一次k个单位的洗衣液，两分钟时水中洗衣液的浓度为3(克/升)，求k的值；
(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
解：(1)由题意知k＝3，
∴k＝1.
(2)由于k＝4，所以y＝
则当0≤x≤4时，
由－4≥4，解得x≥－4，所以此时0≤x≤4.
当4＜x≤14时，由28－2x≥4，解得x≤12，
所以此时4＜x≤12.
综上可知0≤x≤12，若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达12分钟．
10．(2022·山东德州一模)某家庭进行理财投资，依据长期收益率市场猜想，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；
(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么支配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，
所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资债券类产品为x万元，
则投资股票类产品为(20－x)万元．
依题意得y＝f(x)＋g(20－x)
＝＋(0≤x≤20)．
令t＝(0≤t≤2)，
则y＝＋t＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，ymax＝3万元．
故投资债券类产品为16万元，投资股票类产品为4万元时，能使投资获得最大收益3万元．
[力气提升]
1．(2022·广东江门模拟)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将削减10x万瓶，假如要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为( )
A．2 B．6
C．8 D．10
解析：选A．由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x)·70·，令104·(100－10x)·70·≥112×104，解得2≤x≤8.故x的最小值为2.
2. 某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8∶00第一次服药，为保证疗效，则其次次服药最迟的时间应为( )
A．上午10∶00 B．中午12∶00
C．下午4∶00 D．下午6∶00
解析：选C．当x∈[0，4]时，设y＝k1x，
把(4，320)代入，得k1＝80，
∴y＝80x.
当x∈[4，20]时，设y＝k2x＋B．
把(4，320)，(20，0)代入得
解得
∴y＝400－20x.
∴y＝f(x)＝
由y≥240，
得或
解得3≤x≤4或4＜x≤8，
∴3≤x≤8.
故其次次服药最迟应在当日下午4∶00.
3．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
解析：当x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝(x∈N*)．
当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x＞20时，160－x＜140，故x＝16时取得最大年利润．
答案：y＝(x∈N*) 16
4．某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发觉：当还未开头挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开头挂号后排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会毁灭排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会毁灭排队现象．依据以上信息，若要求8分钟后不毁灭排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有________个．
解析：设要同时开放x个窗口才能满足要求，
则
由①②，得
代入③，得60M＋8M≤8×2.5Mx，
解得x≥3.4.
故至少同时开放4个窗口才能满足要求．
答案：4
5．某种出口产品的关税税率为t，市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：p＝2(1－kt)(x－b)2，其中k，b均为常数．当关税税率t＝75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约2万件．
(1)试确定k，b的值；
(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x近似满足关系式：q＝2－x，当p＝q时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．
解：(1)由已知
⇒.
解得b＝5，k＝1.
(2)当p＝q时，2(1－t)(x－5)2＝2－x，
∴(1－t)(x－5)2＝－x⇒t＝1＋
＝1＋，
而f(x)＝x＋在(0，4]上单调递减，
∴当x＝4时，f(x)有最小值，
故当x＝4时，关税税率的最大值为500%.
6．(选做题)某商场估量从2022年1月份起的前x个月，顾客对某商品的需求总量p(x)(单位：件)与x的关系近似地满足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(其中x∈N*，且x≤12)，该商品第x个月的进货单价q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝
(1)写出2022年第x个月的需求量f(x)(单位：件)与x的函数关系式；
(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问该商场2022年第几个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？
解：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x.
验证x＝1符合，
故f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．
(2)估量该商场第x个月销售该商品的月利润为
即g(x)＝
当1≤x≤6，且x∈N*时，g′(x)＝18x2－370x＋1 400，
令g′(x)＝0，
解得x＝5或x＝(舍去)．
当1≤x≤5时，g′(x)≥0，当5＜x≤6时，g′(x)＜0，
故当1≤x≤6，且x∈N*时，g(x)max＝g(5)＝3 125(元)．
当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6 400是减函数，故g(x)max＝g(7)＝3 040(元)．
综上，该商场2022年第5个月的月利润最大，最大月利润为3 125元．
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