【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)阶段性测试题4(三角函数、三角恒等变形、解三角形).docx

阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三角形)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2021·山西高校附中月考)已知角θ的终边过点P(－4k,3k)(k<0)，则2sinθ＋cosθ的值是(　　)
A.　　　　　　　 B．－
C.或－ D．随着k的取值不同其值不同
[答案]　B
[解析]　∵k<0，∴|OP|＝－5k，∴sinθ＝－，cosθ＝，∴2sinθ＋cosθ＝－.
2．(文)(2021·山东莱芜期中)为了得到函数y＝sin(2x－)的图象，只需把函数y＝sin2x的图象(　　)
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
[答案]　D
[解析]　∵y＝sin(2x－)＝sin2(x－)，∴选D.
(理)(2022·山东省菏泽市期中)要得到y＝sin(2x－)的图象，只要将函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移(　　)个单位即可(　　)
A. B．π
C. D．
[答案]　D
[解析]　∵sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)，
∴只需将y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位可得到y＝sin(2x－)的图象．
3．(文)(2022·威海期中)角α的终边经过点P(sin10°，－cos10°)，则α的可能取值为(　　)
A．10°　　　　　　　　　 B．80°
C．－10° D．－80°
[答案]　D
[解析]　由条件知tanα＝＝－tan80°
＝tan(－80°)，故选D.
(理)(2022·北京海淀期中)在△ABC中，若tanA＝－2，则cosA＝(　　)
A. B．－
C. D．－
[答案]　B
[解析]　在△ABC中，若tanA＝－2，则A∈(，π)，
cosA＝－＝－＝－，
故选B.
4．(2021·山东滕州一中月考)化简
的结果是(　　)
A．－1 B．1
C．tanα D．－tanα
[答案]　C
[解析]　原式＝＝tanα.
5．(2021·江西省三县联考)在△ABC中，若sinAsinBsinC＝345，则cosA的值为(　　)
A. B．
C．0 D．1
[答案]　B
[解析]　由正弦定理得abc＝sinAsinBsinC＝345，
∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k(k>0)，
∴cosA＝＝＝.
6．(2021·湖北百所重点中学联考)已知α为第三象限角，且sinα＋cosα＝2m，sin2α＝m2，则m的值为(　　)
A. B．－
C．－ D．－
[答案]　B
[解析]　把sinα＋cosα＝2m两边平方可得1＋sin2α＝4m2，又sin2α＝m2，∴3m2＝1，解得m＝±，又α为第三象限角，∴m＝－.
7．(2021·山东烟台期中)已知方程＝k在(0，＋∞)有两个不同的解α，β(α<β)，则下面结论正确的是(　　)
A．tan(α＋)＝ B．tan(α＋)＝
C．tan(β＋)＝ D．tan(β＋)＝
[答案]　C
[解析]　∵方程＝k在(0，＋∞)内有两个不同解α、β(α<β)，
∴函数y＝|sinx|与y＝kx的图象在(0，＋∞)内有两不同交点，交点的横坐标为α、β，
∴直线y＝kx与y＝－sinx(π<x<2π)相切，且切点横坐标为β，
从而有k＝－cosβ，且kβ＝－sinβ，∴β＝tanβ，
∴tan(β＋)＝＝，故选C.
8．(2022·九江市七校联考)在△ABC中，AC＝7，∠B＝，△ABC的面积S＝，则AB＝(　　)
A．5或3 B．5
C．3 D．5或6
[答案]　A
[解析]　设AB＝x，BC＝y，则x>0，y>0，

由条件得，即
则或∴AB＝3或5.
9．(2022·安徽程集中学期中)在△ABC中，“sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1”是“△ABC是直角三角形”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　由条件式得sinA≥1，∴sinA＝1，∴A为直角，但△ABC为直角三角形时，不愿定A为直角，故选A.
10．(2021·山西忻州四校联考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a，则＋的最大值是(　　)
A．8 B．6
C．3 D．4
[答案]　D
[解析]　＋＝，这个形式很简洁联想到余弦定理：cosA＝，①
而条件中的“高”简洁联想到面积，a·a＝bcsinA，即a2＝2bcsinA，②
将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，
∴＋＝2(cosA＋sinA)＝4sin(A＋)，当A＝时取得最大值4，故选D.
11．(文)(2021·沈阳市东北育才学校一模)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是(　　)
A．y＝sin(2x＋) B．y＝sin(2x＋)
C．y＝sin(2x－) D．y＝sin(2x－)
[答案]　D
[解析]　最小正周期为π，不起作用，把x＝代入解析式，函数取到最值，经检验D符合．
(理)(2021·洛阳市期中)若f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有f(t＋)＝f(－t)，且f()＝－1，则实数m的值等于(　　)
A．±1 B．－3或1
C．±3 D．－1或3
[答案]　B
[解析]　由f(t＋)＝f(－t)得，f(＋t)＝f(－t)，∴f(x)的图象关于直线x＝对称，又f()＝－1，
∴m±2＝－1，∴m＝1或－3.
12．(2022·福州市八县联考)已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A．[，] B．[，]
C．(0，] D．(0,2]
[答案]　A
[解析]　由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋及ω>0得，
＋≤x≤＋，k∈Z.
∵f(x)在(，π)上单调递减，
∴(，π)⊆[＋，＋]，
∴k＝0，∴≤ω≤，故选A.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)
13．(2021·韶关市十校联考)在△ABC中，sinC＝，cosB＝－，则角cosA＝________.
[答案]　
[解析]　∵cosB＝－，0<B<π，∴sinB＝，且B为钝角，∴C为锐角，∵sinC＝，∴cosC＝，
∴cosA＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)
＝sinBsinC－cosBcosC＝×－(－)×＝.
14．(2022·吉林延边州质检)设△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a、b、c，若△ABC的面积为S＝a2－(b－c)2，则＝________.
[答案]　4
[解析]　∵S＝bcsinA，a2－(b－c)2＝2bc－(b2＋c2－a2)＝2bc－2bccosA，S＝a2－(b－c)2，
∴bcsinA＝2bc－2bccosA，∴＝4.
15．(2021·江西师大附中、临川一中联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向左至少平移________个单位后，得到的图象解析式为y＝Acosωx.

[答案]　
[解析]　由函数的图象可得A＝1，T＝·＝π－＝，∴ω＝2.
再依据五点法作图可得2×＋φ＝，∴φ＝，
∴函数f(x)＝sin(2x＋)．
把函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向左平移个单位，可得y＝sin[2(x＋)＋]，即y＝cos2x的图象．
16．(文)(2021·湖南师大附中月考)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(其中φ为实数)，若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，且sinφ<0，则f(x)的单调递增区间是________．
[答案]　[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
[解析]　由条件知|f()|＝|sin(＋φ)|＝1，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∴φ＝kπ＋，∵sinφ<0，∴取k＝1，φ＝，
∴f(x)＝sin(2x＋)．
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得，
kπ－≤x≤kπ－.
(理)(2022·甘肃临夏中学期中)函数f(x)＝3sin(2x－)的图象为C，则如下结论中正确的序号是________．
①图象C关于直线x＝π对称；
②图象C关于点(，0)对称；
③函数f(x)在区间(－，)内是增函数；
④由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
[答案]　①②③
[解析]　①当x＝时，f()＝3sin＝－3，∴正确；②当x＝时，f()＝0，∴正确；③由2kπ－≤2x－≤2kπ＋可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)，∴正确；④y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度得到y＝3sin2(x－)，∴④错误．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分12分)(2021·韶关市十校联考)已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x.
(1)若点P(1，－)在角α的终边上，求f(α)的值；
(2)若x∈[－，]，求f(x)的值域．
[解析]　(1)由于点P(1，－)在角α的终边上，
所以sinα＝－，cosα＝，
所以f(α)＝sin2α－2sin2α＝2sinαcosα－2sin2α
＝2×(－)×－2×(－)2＝－3.
(2)f(x)＝sin2x－2sin2x＝sin2x＋cos2x－1
＝2sin(2x＋)－1，
由于x∈[－，]，所以－≤2x＋≤，
所以－≤sin(2x＋≤1，
所以f(x)的值域是[－2,1]．
18．(本小题满分12分)(文)(2022·辽宁师大附中期中)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝，b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
[解析]　(1)∵cosB＝，∴sinB＝.
由正弦定理＝，可得＝.∴a＝.
(2)∵△ABC的面积S＝acsinB，sinB＝，
S＝3，∴ac＝10.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，
4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.
∴(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40，
∴a＋c＝2.
(理)(2021·甘肃会宁二中模拟)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知＝.
(1)求A的大小；
(2)若a＝6，求b＋c的取值范围．
[解析]　(1)由条件结合正弦定理得，
＝＝，
从而sinA＝cosA，tanA＝，
∵0<A<π，∴A＝.
(2)解法一：由已知：b>0，c>0，b＋c>a＝6，
由余弦定理得：36＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－(b＋c)2＝(b＋c)2，
(当且仅当b＝c时等号成立)，∴b＋c≤12，
又b＋c>6，∴6<b＋c≤12，
从而b＋c的取值范围是(6,12]．
解法二：由正弦定理得：＝＝＝4.
∴b＝4sinB，c＝4sinC，
∴b＋c＝4(sinB＋sinC)＝4[sinB＋sin(－B)]
＝4(sinB＋cosB)＝12(sinB＋cosB)
＝12sin(B＋)．
∵<B＋<，∴6<12sin(B＋)≤12，
即6<b＋c≤12(当且仅当B＝时等号成立)，
从而b＋c的取值范围是(6,12]．
19．(本小题满分12分)(文)(2022·马鞍山二中期中)已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，α∈(，)．
(1)若||＝||，求角α的值；
(2)若·＝－1，求的值．
[解析]　(1)∵＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，
∴2＝(cosα－3)2＋sin2α＝10－6cosα，
2＝cos2α＋(sinα－3)2＝10－6sinα，
由||＝||，可得2＝2，
即10－6cosα＝10－6sinα，得sinα＝cosα.
又∵α∈(，)，∴α＝.
(2)由·＝－1，得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，∴sinα＋cosα＝.①
又＝＝2sinαcosα.
由①式两边分别平方，得1＋2sinαcosα＝，
∴2sinαcosα＝－.∴＝－.
(理)(2022·辽宁师大附中期中)已知向量a＝(2sinx，sinx－cosx)，b＝(cosx，(cosx＋sinx))，函数f(x)＝a·b＋1.
(1)当x∈[，]时，求f(x)的最大值和最小值；
(2)求f(x)的单调区间．
[解析]　(1)f(x)＝sin2x－cos2x＋1＝2sin(2x－)＋1.
∵≤x≤，∴≤2x≤π，∴≤2x－≤，
∴≤sin(2x－)≤1，∴1≤2sin(2x－)≤2，
于是2≤2sin(2x－)＋1≤3，
∴f(x)的最大值是3，最小值是2.
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
即f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z，
同理由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得，
f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
20．(本小题满分12分)(2022·马鞍山二中期中)如图A、B是海面上位于东西方向相距5(3＋)n mile的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20n mile的C点的救援船马上前往营救，其航行速度为30n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？

[解析]　由题意知AB＝5(3＋)n mile，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得，
＝
∴DB＝
＝
＝
＝＝10(n mile)．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，
BC＝20(n mile)，
在△DBC中，由余弦定理得，
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC
＝300＋1200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30(n mile)，则需要的时间t＝＝1(h)．
答：救援船到达D点需要1h.
21．(本小题满分12分)(文)(2021·深圳市五校联考)已知f(x)＝sin(π＋ωx)sin(－ωx)－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为T＝π.
(1)求f()的值；
(2)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若有(2a－c)cosB＝bcosC，则求角B的大小以及f(A)的取值范围．
[解析]　(1)f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx
＝sin2ωx－cos2ωx－＝sin(2ωx－)－.
∵y＝f(x)的最小正周期T＝π，∴＝π，∴ω＝1，
∴f(x)＝sin(2x－)－，
∴f()＝sin(2×－)－＝sin－＝－1.
(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，
∴由正弦定理可得：(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，
∴2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)
＝sin(π－A)＝sinA，
∵sinA>0，∴cosB＝，∵B∈(0，π)，∴B＝.
∵A＋C＝π－B＝π，∴A∈(0，)，
∴2A－∈(－，)，∴sin(2A－)∈(－，1]，
∴f(A)＝sin(2A－)－∈(－1，]．
(理)(2022·浙江省五校联考)已知函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)cosωx－，其中ω>0，f(x)的最小正周期为4π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．
[解析]　f(x)＝sinωx·cosωx＋cos2ωx－
＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin(2ωx＋)．
∵＝4π，∴ω＝，f(x)＝sin(＋)．
(1)由2kπ－≤＋≤2kπ＋(k∈Z)得：
4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间是[4kπ－，4kπ＋](k∈Z)．
(2)由正弦定理得，(2sinA－sinC)cosB＝sinB·cosC，
∴2sinAcosB＝sin(B＋C)，
∵sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA>0，
∴cosB＝，∵0<B<π，∴B＝，
∴0<A<，<＋<，∴f(A)∈(，1)．
22．(本小题满分14分)(文)(2021·四川巴中市诊断)设函数f(x)＝cos＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝，f()＝－，且C为锐角，求sinA的值．
[解析]　(1)f(x)＝cos＋sin2x＝cos2xcos－sin2xsin＋＝－sin2x，
所以函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.
(2)f()＝－sinC＝－，所以sinC＝，
由于C为锐角，所以C＝，
在△ABC中，cosB＝，所以sinB＝，
所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝×＋×＝.
(理)(2021·濉溪县月考)已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(λ∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数且ω∈(，1)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点(，0)，求函数y＝f(x)在区间[0，]上的取值范围．
[解析]　(1)∵f(x)＝a·b＋λ
＝(cosωx－sinωx)·(－cosωx－sinωx)＋sinωx·
2cosωx＋λ＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ
＝sin(2ωx)－cos(2ωx)＋λ＝2sin(2ωx－)＋λ.
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－)＝±1，
∴2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)，
又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，ω＝.
∴f(x)＝2sin(x－)＋λ，
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵函数y＝f(x)的图象过点(，0)，
∴f()＝2sin(×－)＋λ＝0，故λ＝－2sin＝－.
故f(x)＝2sin(x－)－，
∵0≤x≤，∴－≤x－≤，
∴－≤sin(x－)≤1，
∴－1－≤2sin(x－)－≤2－，
故函数f(x)在[0，]上的取值范围为[－1－，2－]．