二元二次多项式的因式分解讲课教案.doc

二元二次多项式的因式分解

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形如的二元二次多项式的因式分解
　分解形如的多项式，常用的方法有：求根法、待定系数法、双十字相乘法和双零分解法。当然结合多项式的特点可以采用灵活的方法，如若已知它的一个因式，可用分析二次项和常数项的方法，较容易的求得。现举例说明：
方法一、求根法　
利用求根法因式分解，形如的二元二次多项式可看成关于（或）的一元二次多项式。用求根公式求出两根，则原式＝。在实数范围内，原多项式分解成两个一次因式，必须是关于的方程的判别式是的一次式的完全平方式，为此这个判别式的判别式必须是0。
例1、为何值时，能分解成两个一次式的乘积，并进行分解。
分析：把上面的多项式看成的一元二次式，令这个一元二次式为0，解出的两个值，则原式＝6，这里只须研究何值时，是的一次式即可。
解：设＝0，把此式看成关于的一元二次方程，则该方程的判别式：　，
要使方程的解为的一次式，必须为完全平方式，那么判别式的判别式必须是零。
＝，∴
（1）、当时，由解得
则原式＝＝
（2）、当时，由解得
则原式＝
练习： 把分解因式　答案：原式＝
方法二：待定系数法
用待定系数法因式分解的一般步骤：
1、 根据多项式的特点，确定所能分解成的形式。要尽量减少待定系数的个数，以利求解。
2、 利用多项式恒等定理，列出以待定系数为未知数的方程或方程组。
3、 解方程组，如方程或方程组有解，则原式可以分解为所设的形式；如果无解，则原方程组不能分解为所设的形式。
如果方程组有解，把解得的待定系数的数值代入所设的分解式中。
例2、为何值时，多项式可分解为两个一次因式的积。
分析：先设可分解成两个一次式，原式中的是的项未知系数。为使待定系数尽量少，可先考虑，所以可设：原式＝，也可以先考虑，所以可设：原式＝，这里只解前者。
解：设＝
∵＝
∴＝
由两边对应项系数相等得：　，解此方程组得或　
∴当时，原式可分解为＝；
当时，原式可分解为＝　
练习：为何值时，能分解成两个一次式的乘积，并进行分解。
答案：解得　∴原式可分解为＝
说明：上面方法是常用的两种方法，特别是求待定系数很有效；不含待定系数的也可用双十字相乘法。
方法三、双十字相乘法
双十字相乘法即运用两次十字相乘法，第一次运用十字相乘法将多项式中的二次齐次式分解因式，然后再运用一次十字相乘法。
其理论依据：若可分解为，则当时，＝
例3、把分解因式。
解：可先用十字相乘法，把分解， ，然后再用十字相乘法
，于是原式＝　。
练习：分解因式　　答案：原式＝
方法四、双零分解法
理论依据：若可分解为，则当时有；当时有。因此在分解上述二元二 次多项式时，可令得关于的二次三项式分解为；再令得关于的二次三项式并分解为；注意这里两分解式中的常数项应相同，如果不同就要变形使其相同。这时有＝。
例4、分解因式
解：令有＝；
令有＝
所以有＝
练习： 分解因式　　答案：原式
方法五：分析二次项、常数项法
若已知它的一个因式，可用分析二次项和常数项的方法，较容易的求得。
例5、若多项式有一个因式，则另一个因式为＿＿。
解：由于多项式有一个因式，且原式二次项中含有和，所以另一个因式中必有一次项；同时原式常数项中有－3，所以另一个因式中应有常数项－1。综上所述：原多项式的另一个因式为
练习：多项式有一个因式，求它的另一个因式
答案：＝
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